9.4.1 利用角的关系判定两个三角形相似（学案含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 9.4.1 利用角的关系判定两个三角形相似（学案含答案） 列清单·划重点 知识点1 相似三角形的定义 三角分别 ，三边 的两个三角形叫做相似三角形.△ABC相似于△A'B'C',记作△ABC △A'B'C'. 注意 (1)对应性：通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写容易找到相似三角形的对应角和对应边. (2)相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定. (3)相似三角形具有传递性:若△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'∽△A"B"C",则 △ABC∽△A"B"C". 知识点2 相似三角形的相似比 相似三角形 的比，叫做相似比. 注意 (1)相似比是有顺序的,若△ABC与△A'B'C'的相似比为k,则△A'B'C'与△ABC的相似比为 /k.若这两个相似比相等，即 则相似比为1，此时，这两个三角形全等.也就是说，全等是一种特殊的相似，特殊在相似比为1.(2)全等一定相似，相似不一定全等. 知识点3 三角形相似的条件 相似三角形的判定定理(一)： 两角分别 的两个三角形相似. 符号语言：如图所示， ∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'. 注意 两种特殊情况的相似：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似. 明考点·识方法 考点1 相似三角形判定定理一 典例1 如图，四边形 ABCD为菱形,点 E在 AC的延长线上,∠ACD=∠ABE. (1)求证:△ABC∽△AEB; (2)当AB=6,AC=4时,求 AE的长. 思路导析 (1)根据两角相等可得两三角形相似； (2)根据(1)中的相似列比例式可得结论. 变式 如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点 B 是线段 AD 上的一点,且 CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4. (1)证明:△ABC∽△DEB; (2)求线段 BD 的长. 考点2 相似三角形判定定理一的应用 典例2 如图，∠ABD=∠BCD=90°,DB 平分∠ADC,过点 B 作 BM ∥CD 交AD 于点 M.连接CM交 DB 于点 N. (1)求证: (2)若CD=6,AD=8,求 MN的长. 思路导析 (1)通过证明△ABD∽△BCD,可得可得结论； (2)由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC,即可证AM=MD=MB=4,由. 和勾股定理 可求 MC 的长,通过 证明 △MNB∽△CND,可得 即可求MN的长. 变式 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC 于点 D,F为AD 上一点,且 BF=BD.BF的延长线交AC于点E. (1)求证:AB·AD=AF·AC; (2)若∠BAC=60°,AB=4,AC=6,求 DF的长. 当堂测·夯基础 1.如图,在△ABC中,点 D在AB 边上,点 E 在AC边上,且∠1=∠2=∠3,则下列结论中不正确的是 ( ) A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACD C.△ADE∽△EDC D.△ABC∽△ACD 第1题图 第2题图 2.如图, 在 ABCD中,对角线 AC,BD 相交于点O,点 E 为OC 的中点,EF∥AB 交BC 于点F.若AB=4,则 EF的长为 ( ) A. B.1 C. D.2 3.如图,在△ABC 中,点 D,E分别在边AB，AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 .(写出一种情况即可) 第3题图 第4题图 4.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片 ABCD 如图所示，点N 在边 AD 上，现将矩形折叠，折痕为 BN，点A 对应的点记为点 M，若点M恰好落在边 DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 . 5.如图，在菱形ABCD中,E 为CD 延长线上一点,连接BE交AD 于点 F,∠AEB=∠C. (1)求证:△ABE∽△BEC; (2)若AE=4,BE=8,求CE的长. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 相等 对应成比例 ∽ 知识点2 对应边 知识点3 相等 【明考点·识方法】 典例1 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 为菱形,∴∠ACD=∠BCA, ∵∠ACD=∠ABE,∴∠BCA=∠ABE, ∵∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB; (2)∵△ABC∽△AEB,∴ABE=AC, 变式 解:(1)证明:∵ CA⊥AD,ED⊥ AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°, ∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB; (2)∵△ABC∽△DEB,∴ACD=ABE, 典例2 证明:(1)∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°, ∴△ABD∽ ... ...