9.4.3 利用边的关系判定两个三角形相似（学案含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 9.4.3 利用边的关系判定两个三角形相似（学案含答案） 列清单·划重点 知识点 相似三角形的判定定理三 1.定理: 三边 的两个三角形相似. 2.符号语言 如图所示， 如果 那么△ABC △A'B'C'. 注意 (1)当已知条件中有三边时，可考虑此判定方法.在判断三边是否成比例时，应先将三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定这两个三角形是否相似. (2)特别地，若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似. 明考点·识方法 考点1 利用相似三角形判定定理三判定三角形相似 典例1 如图所示，网格中相似的两个三角形是 ( ) A.①与② B.①与③ C.③与④ D.②与③ 思路导析 用勾股定理求出两个三角形的各边长，通过三边成比例，判定两个三角形相似. 变式 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点).是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它们和点 D 构成的三角形与△ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 考点2 相似三角形判定定理三的应用 典例2 一个三角形木架三边长分别是75 cm,100 cm,120 cm,现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm 的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 思路导析 根据相似三角形对应边成比例，进行分类讨论求解. 变式 象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”下一步应落在下列哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 ( ) A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 考点3 相似三角形的判定与性质的综合 典例3 如图,△ABC是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上,. (1)求证:△BAD∽△CEA; (2)若 BD=2,CE=6,求△ABC 的边长. 思路导析 (1)先证∠BAD=∠E,再证∠ABD=∠ECA,即可证得△BAD∽△CEA; (2)根据(1)中的两个三角形相似，得出 结合等边三角形的性质即可求出其边长. 变式 如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,CD 是△ABC的中线,作 AE⊥CD 于点 E,EF∥BC 交BD 于点F. (1)求证:△ACE∽△BAC; (2)若AC= ,CE=1,求 BD及EF 的长. 当堂测·夯基础 1.已知△ABC 的三边长分别为1，，,△DEF 的三边长分别则△ABC与△DEF ( ) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判定是否相似 2.如图在4×1的方格中,每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与△ABC 相似的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7. 5cm ,9 cm,△DEF 的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 ( ) A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 4.如图，在平行四边形ABCD 中,连接对角线 AC,延长 AB 至点E,使 BE=AB,连接 DE,分别交 BC,AC于点F,G.若 BC=6,DG=4,求 FG的长为 . 参考答案 【列清单·划重点】 知识点 1.对应成比例 2.∽ 【明考点·识方法】 典例1 B 解析：图形①的三边为2， 图形②的三边为 图形③的三边为2，2,2图形④的三边为3，, ∴①与③相似. 变式 B 典例2 B 变式 B 典例3 解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, ∵∠DAE=120°,∴∠BAD+∠CAE=60°, ∵∠ACB是△ACE的外角,∴∠ACB=∠E+∠CAE=6 ... ...