1.2.2 函数的和差积商求导法则（课件+学案+练习，共3份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

1.2.2　函数的和差积商求导法则 [学习目标]　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数. 一、函数和、差的求导法则 问题1　设f(x)=x3，g(x)=x，计算(f(x)+g(x))'，(f(x)-g(x))'，它们与f'(x)和g'(x)有什么关系？ 知识梳理 1.函数常数倍的导数，等于常数乘函数的导数，即(cf(x))'=　　　　　　. 2.两个函数和或差的导数： (f(x)±g(x))'=　　　　　　　　. 推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))' =f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x). 例1　求下列函数的导数： (1)y=x5-x3+cos x； (2)y=lg x-ex. 反思感悟　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用函数的求导法则即可. 跟踪训练1　求下列函数的导数： (1)f(x)=x2+sin x； (2)g(x)=x3-x2-6x+2. 二、函数的积与商的求导法则 问题2　设f(x)=x3，g(x)=x，分别计算(f(x)·g(x))'与f'(x)g'(x)，它们是否相等？'与是否相等？ 知识梳理 1.(f(x)g(x))'=　　　　　　　　　　　. 2.'=　　　　　　. 3.'=　　　　　　　　　　　　　. 例2　求下列函数的导数： (1)y=x2+xln x；(2)y=； (3)y=；(4)y=(2x2-1)(3x+1). 反思感悟　利用函数求导法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式. (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. (3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 跟踪训练2　求下列函数的导数： (1)y=(x2+1)(x-1)； (2)y=x2+tan x； (3)y=. 三、函数求导法则的应用 例3　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)=.那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　) A.-40元/吨 B.-10元/吨 C.10元/吨 D.40元/吨 (2)函数f(x)=x4-x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=x-1 D.y=x+1 反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. (3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同. 跟踪训练3　(1)记函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=3xf'(2)-2ln x，则f(1)等于(　　) A.1 B.2 C. D. (2)曲线y=(x-1)ex在点(1，0)处的切线与坐标轴围成的面积为　　　　. 1.知识清单： (1)函数的和差积商求导法则. (2)综合运用导数公式和函数求导法则求函数的导数. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则. 1.设函数y=-2exsin x，则y'等于(　　) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 2.已知f(x)=ax3+3x2+2，若f'(-1)=4，则a的值为(　　) A. B. C. D. 3.若函数f(x)=f'(-1)x2-2x+3，则f'(-1)的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 4.某物体做直线运动，其运动规律是s=3t2+2t+4(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度为_____ m/s. 答案精析 问题1　设u(x)=f(x)+g(x)=x3+x， 则 = = = =3x2+3dx+d2+1， 当d→0时，3x2+3dx+d2+1→3x2+1， 即u'(x)=3x2+1，又f'(x)=3x2，g'(x)=1， 则u'(x)=f'(x)+g'(x)， 即(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x). 类似地，可得(f(x)-g(x))'=3x2-1， 则(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x). 知识梳理 1.cf'(x) 2.f'(x)±g'(x) 例1　解　(1)y'='-'+'=5x4-3x2-sin x. (2)y' ... ...