2.2 空间向量及其运算（课件 学案 练习，共6份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算. 一、空间向量的基本概念 问题1　平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 知识梳理 空间向量的有关概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量. (2)表示法： ①符号表示法：a，b，c. ②几何表示法：有向线段. (3)向量的模：空间向量a的大小(或长度)称为a的模，记为|a|. (4)几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为　　的向量 零向量 模为　　的向量，记作　　.零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向　　　　且长度　　　　的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量 (平行向量) 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若　　　　　　　　　　　　，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作　　　　　　　　.零向量与任意向量　　　　 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A.单位向量都相等 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量满足||>||，则> D.相等向量其方向必相同 (2)如图所示，从长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取两点作为向量的起点和终点： ①写出所有与相等的向量； ②写出的相反向量. 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 跟踪训练1　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c 二、空间向量的加减法 问题2　平面向量的线性运算和运算律可以推广到空间向量吗？ 问题3　如何证明加法结合律+c=a+？如图，在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中，分别标出++++表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 知识梳理 空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，_____为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形，_____为和 图形表示 减法运算 几何意义 语言表述 共起点，连终点，方向指向____向量 图形表示 运算律 交换律 a+b=_____ 结合律 (a+b)+c=_____ 例2　(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A.-- B.+- C.-- D.-+ 反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)+-； (2)--. 三、向量与实数相乘 知识梳理 定义 任何一个向量a都可看作某平面上的向量，它与实数λ相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa|=____ 几何意义 λ>0 λa与a方向____ λa的长度是a的长度的__倍 λ<0 λa与a方向____ λ=0 λa=0，其方向是____的 运算律 对实数加法的分配律 (λ1+λ2)a=_____ 对向量加法的分配律 λ(a+b)=λa+λb 例3　如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a=b=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 延伸探究　若把例3中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何表示？ 反思感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平 ... ...