2.3.2 空间向量运算的坐标表示（课件 学案 练习，共3份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

2.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握空间向量的线性运算和数量积运算及其坐标表示.2.能利用空间向量的坐标运算解决一些简单的几何问题. 一、空间向量的坐标运算 问题1　平面向量学习了哪些运算？ 知识梳理 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b=　　　　　　　　　　　 减法 a-b=　　　　　　　　　　　 数乘 λa=　　　　　　　　　　　，λ∈R 数量积 a·b=　　　　　　　　　　　 例1　在△ABC中，A(2，-5，3)=(4，1，2)=(3，-2，5). (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且=求点P的坐标. 反思感悟　空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标. 跟踪训练1　已知a+b=(22)，a-b=(00)，则a=　　　　　，b=　　　　　，a·b=　　　　. 二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识梳理 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b b=λa(a≠0，λ∈R) x2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R) a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 例2　已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a=b. (1)设向量c=试判断2a-b与c是否平行？ (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k. 反思感悟　判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. 跟踪训练2　(1)已知向量a=(-1，2，1)，b=(3，x，y)，且a∥b，那么b的坐标为(　　) A.(3，-6，-3) B.(3，-3，-6) C.(3，2，1) D.(3，1，2) (2)已知空间三点A(-2，2，1)，B(-1，1，-2)，C(-4，0，2)，若向量3-与+k垂直，则k的值为　　　　　. 三、夹角和距离的计算 问题2　类比平面向量的模长公式和平面向量的夹角公式，对于空间向量又是怎样计算向量的模和夹角的呢？ 知识梳理 1.空间向量的模长公式的坐标表示 (1)若a=(x1，y1，z1)，则|a|=. (2)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间任意两点，则P1P2=||=. 2.空间向量夹角公式的坐标表示 设a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)(a≠0，b≠0)，则cos〈a，b〉==. 例3　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，N为AA1的中点. (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 反思感悟　利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标. (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题. 跟踪训练3　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，AB=4，CD=1，AD=2. (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 1.知识清单： (1)空间向量的坐标运算. (2)空间向量坐标表示的应用. 2.方法归纳：类比、转化. 3.常见误区： (1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等. (2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况. 1.已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O为坐标原点，若=则点B的坐标应为(　　) A.(-1，3，-3) B.(9，1，1) C.(1，-3，3) D.(-9，-1，-1) 2.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=且λ>0，则λ等于(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是(　　) A.1 B. C. D. 4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，则向量与的 ... ...