2.4.4 向量与距离（课件 学案 练习，共3份）湘教版（2019） 选择性必修第二册

2.4.4　向量与距离 [学习目标]　1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量在解决几何问题中的重要作用. 一、点到直线的距离与两平行线间的距离 问题1　如图，已知直线l的单位方向向量为v，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 问题2　类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线间的距离？ 知识梳理 1.点到直线的距离 如图，直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，过点P作直线l的垂线交l于点D，则||即为点P到直线l的距离. 设A为直线l上任意一点，则是在l上的投影向量，所以投影长||=||·|cos∠PAD|=||·= 　　　　　　　　　　　　. 于是，点P到已知直线l的距离 d=||==　　　　　　　　　　　　　　　　　. 2.两条平行直线间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 例1　在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求点O1到直线AC的距离. 反思感悟　求空间一点P到直线l(P l)的距离的算法程序如图所示 跟踪训练1　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.求直线FC1到直线AE的距离. 二、点到平面的距离与直线到平面的距离 问题3　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 知识梳理 1.点到平面的距离 如图，在平面α内任取一点A，作向量设n是平面α的法向量，则在法向量n上的投影长||= 　　　　　　　　　即为点P到平面α的距离d. 2.直线到平面的距离 当直线和平面平行时，求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解. 例2　已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，BB1=3，求点B1到平面A1BC1的距离. 反思感悟　求空间一点P到平面α(P α)的距离的算法程序如图所示 跟踪训练2　如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC=90°，AD=1，CD=BC=2，AA1=2，E是CC1的中点，求直线A1B1到平面ABE的距离. 三、两平行平面间的距离 知识梳理 两平行平面间的距离 如图，A，B分别是平行平面α，β上的任意一点，设n是平面α，β的一个法向量，则平面α，β之间的距离d=　　　　　　　. 例3　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点. (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD之间的距离. 反思感悟　求两平行平面α，β之间的距离的算法程序如图所示 跟踪训练3　如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD之间的距离. 1.知识清单： (1)点到直线的距离、两平行线间的距离. (2)点到平面的距离、直线到平面的距离. (3)两平行平面间的距离. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础. 1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B.1 C. D.2 2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 3.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C 与平面A1C1D之间的距离为(　　) A. B. C. D. 4.(多选)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点，则(　　) A.点A1到直线B1E的距离为 B.直线FC1到直线AE的距离为2 C.点B到平面AB1E的距离为 D.直线FC1到平面AB1E的距离为 答案精析 问题1　向量在直线l上 ... ...