一、空间向量的概念及运算 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等. 2.向量的运算过程较为烦琐，要注意培养学生的数学运算能力和运算技巧. 例1 (1)点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且==则满足=x+y+z的实数x，y，z的值分别是 . (2)已知点A(2，-1，1)，B(1，2，3)，C(0，2，1)，D(1，0，λ)在同一平面内，则实数λ= . 反思感悟 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的. (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使=x+y. 跟踪训练1 (1)设x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a+b|等于( ) A.2 B. C.3 D.4 (2) 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. ①求的长； ②求与夹角的余弦值. 二、利用空间向量证明线面的位置关系(平行与垂直) 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4. (1)求证：AC⊥BC1； (2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1. 反思感悟 利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择恰当的基向量或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证). 跟踪训练2 如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明： (1)PA⊥BD； (2)平面PAD⊥平面PAB. 三、利用空间向量求距离 1.空间两种距离的计算 (1)直线l外一点P到直线l的距离d=其中A是l上的定点，v是直线l的方向向量. (2)平面α外一点P到平面α的距离d=其中A是平面α内的定点，n是平面α的法向量. 2.通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例3 在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC=CD=AD=AB=1，且∠BAD=30°，求点D到平面ABC的距离. 反思感悟 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可. 跟踪训练3 如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA. (1)证明：OA⊥BC； (2)当AO=1时，求点E到直线BC的距离. 四、利用空间向量求空间角 1.空间中三种角的计算公式 (1)设两条异面直线a与b所成的角为θ，v1与v2所成的角为φ，则cos θ=|cos φ|=|cos〈v1，v2〉|=(其中v1，v2分别是两异面直线的方向向量). (2)设直线和平面所成的角为θ，v与n所成的角为φ，则sin θ=|cos φ|=|cos〈v，n〉|=(其中v是直线的方向向量，n是平面的法向量). (3)设两个平面所成的角为θ，记〈n1，n2〉=φ，则cos θ=|cos φ|=|cos〈n1，n2〉|=(其中n1，n2分别是两平面的法向量). 2.通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 例4 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点且B1M=2，点N ... ...
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