习题课 数列求和(二) [学习目标] 1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义.2.掌握错位相减法的一般过程和思路以及数列求和中的创新问题． 一、错位相减法求和 例1 在①：Sn＝2n－3n－1；②：an＋1＝2an＋3，a1＝－1这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{an}的前n项和为Sn，且_____． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝n·(an＋3)，求数列{bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 反思感悟 (1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法． (2)用错位相减法求和时，应注意： ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． 跟踪训练1 设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设anbn＝n，求数列{bn}的前n项和Sn. 二、数列求和中的创新问题 例2 在①S3＝6，S5＝15；②公差为1，且a2，a4，a8成等比数列；③a1＝1，a2＋a3＋a5＋a6＝16，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足_____． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令cn＝[lg an ]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求c1＋c2＋…＋c2 023. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 反思感悟 数列求和中的创新问题往往和函数、不等式、平面几何等实际问题相结合，重点考查数列求和的应用意识． 跟踪训练2———提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6，…，则下列说法中，正确的是( ) A．“提丢斯数列”是等比数列 B．“提丢斯数列”的第99项为 C．“提丢斯数列”的前31项和为＋ D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 1．知识清单： (1)错位相减法求和． (2)创新求和问题． 2．方法归纳：公式法、错位相减法、列举法． 3．常见误区： (1)错位相减法中要注意项的符号以及化简合并． (2)创新求和问题有时可用列举法． 1．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是( ) A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2 C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2 2．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N＋)，则数列{an}的前10项的和为( ) A. B. C. D. 3．已知数列{an}满足an＝定义使a1·a2·a3·…·ak(k∈N＋)为整数的k叫作“幸福数”，则区间[1,2 023]内所有“幸福数”的和为_____． 4. 如图所示，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则在该数列中，第37项是_____． 习题课 数列求和(二) 例1 解 (1)若选①：∵Sn＝2n－3n－1， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n－3n－1－[2n－1－3(n－1)－1] ＝2n－1－3， 当n＝1时，a1＝S1＝－2满足上式， 故an＝2n－1－3. 若选②：an＋1＝2an＋3，a1＝－1， 易得an＋1＋3＝2(an＋3)， 于是数列{an＋3}是以a1＋3＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an＋3＝2n，∴an＝2n－3. (2)若选①：由(1)得bn＝n·2n－1， 从而Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1， 2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 作差得－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝－n·2n＝(1－n)2n－1， 于是Tn＝(n－1)2n＋1. 若选②：由(1)得bn＝n·2n， 从而Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， 2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋ ... ...
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