一、等差与等比数列的基本运算 1．数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小． 2．通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 例1 在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 反思感悟 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用． 跟踪训练1 (1)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋ab3＋…＋ab10＝_____. (2)记正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2a3＝S5. ①求数列{an}的通项公式； ②已知等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，若bm＝a782，求数列{bn}的前m项和Tm. 二、等差、等比数列的判定 1．判断等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列． 2．通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． 例2 已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求数列{an}的通项公式． 反思感悟 判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的常数． (2)中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N＋，n≥2)，则{an}为等差数列. ②若a＝an－1·an＋1(n∈N＋，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N＋) {an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋) {an}是公比不为1的等比数列． 跟踪训练2 已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N＋时，有＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 三、数列的通项 1．数列的通项公式的求法在考查中也经常涉及．在命题中，多以递推公式的形式或与Sn的关系给出条件，然后通过构造等差数列或等比数列，求出通项公式an，题型多以解答题形式出现，难度偏小或中等． 2．通过通项公式的求法，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 例3 在数列{an}中，a1＝1，且对于任意的m，n∈N＋，都有am＋n＝am＋an＋mn，求数列{an}的通项公式． 反思感悟 求数列通项的常用方法 (1)由Sn与an的关系求通项公式：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，当n＝1时，验证a1＝S1.数列{f(n)an}求通项与上述方法类似． (2)累加法：适用形如“an＋1－an＝f(n)”， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)． (3)累乘法：适用于形如“＝f(n)”， an＝a1···…·. (4)构造法：①形如“an＝kan－1＋b(k，b为常数，k≠0，n≥2，n∈N＋)”，可令an＋t＝k(an－1＋t)，结合已知条件可得t＝，构造等比数列. ②取倒数法：形如“an＝(n≥2，n∈N＋，k，m，p均为常数，m≠0)”，可在等式两边取倒数，转化为等差数列或转化为类型①. 跟踪训练3 设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且Sn满足2Sn＝(n＋1)an，n∈N＋.求数列{an} ... ...
