[学习目标] 1.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.2.进一步掌握用解析法处理平面几何问题． 一、坐标法证明几何问题 知识梳理 1．坐标法：平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法． 2．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：实施代数运算，求解代数问题； 第三步：将代数解转化为几何结论并作答． 例1 如图所示，在圆O上任取一点C为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于点H，求证：EF平分CD. 反思感悟 建立直角坐标系应遵循的原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得． 跟踪训练1 如图，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值． 二、求动点的轨迹方程 例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 反思感悟 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明． (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程． (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程． 跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程． 1．知识清单： (1)坐标法证明几何问题． (2)坐标法求动点的轨迹方程． 2．方法归纳：坐标法，转化思想． 3．常见误区：求轨迹方程时易忽视排除不符合的点． 1．方程x2＋xy＝x的曲线是( ) A．一个点 B．一个点和一条直线 C．一条直线 D．两条直线 2．(多选)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k(k>0)的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上有且只有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以是( ) A．1 B．4 C．3 D．5 3．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为_____． 4．已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12,0)，M为PA的中点，则点M的轨迹方程为_____. §2.7 用坐标方法解决几何问题 例1 证明 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点， 建立平面直角坐标系，如图所示， 设|AB|＝2r， D(a,0)， 则|CD|＝， ∴C(a，)， ∴圆O：x2＋y2＝r2， 圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2. 两方程作差得直线EF的方程为 2ax＋2y＝r2＋a2. 令x＝a，得y＝， ∴H， 即H为CD的中点， ∴EF平分CD. 跟踪训练1 证明 如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系， 于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)． 设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上， 故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2 ＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2 ＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)． 例2 解 (1)设线段AP的中点M(x，y)， 由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为 (x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ ... ...
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