习题课 与圆有关的最值(范围)问题 [学习目标] 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 一、与距离有关的最值问题 知识梳理 1．如图①，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝_____，最大值＝_____. 图① 图② 2．如图②，直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝_____，最大值＝_____. 3．如图③，过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝_____，最大值＝_____. 图③ 图④ 4．如图④，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝_____. 例1 (1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为_____． (2)在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为( ) A. B. C. D. 反思感悟 (1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 跟踪训练1 (1)从点P(1，－2)向圆C：x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．0 (2)过点A(3,1)作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为_____． 二、与面积有关的最值问题 例2 (1)已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为_____． (2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝_____. 反思感悟 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． 跟踪训练2 直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为( ) A．1 B. C. D. 三、利用数学式的几何意义求解最值问题 例3 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (3)求x＋y的最大值与最小值． 反思感悟 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 跟踪训练3 (多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是( ) A．y－x的最大值为－2 B．x2＋y2的最大值为7＋4 C.的最大值为 D．x＋y的最大值为2＋ 1．知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题． (2)利用数学式的几何意义求解圆的最值问题． 2．方法归纳：数形结合、转化思想． 3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大． 1．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是( ) A．[3,7] B．[1,9] C．[0,5] D．[0,3] 2．已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为( ) A. B．2 C．2 D．4 3．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是( ) A．[，＋∞) B. (－∞，－] C. (－∞，－]∪[，＋∞) D. [－，] 4．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为_____． 习题课 与圆有关的最值(范围)问题 知识梳理 1．d－r d＋r 2．d－r d＋r 3．2 2r 4. 例1 (1) － 解析 直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0， 令 解得定点坐标为M(3,1)，因为圆心C(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，kCM＝＝－，kl＝－， 所以kCM×kl＝×＝－ ... ...
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