3．2.1 双曲线的标准方程 第1课时 双曲线的标准方程 [学习目标] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 一、双曲线的定义 问题1 把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ 问题2 在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|，如果截取的长度等于|F1F2|，其轨迹还是上述图形吗？ 知识梳理 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作_____．这两个定点F1，F2叫作双曲线的_____，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的_____． 例1 已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，点P的轨迹为( ) A．双曲线或一条直线 B．双曲线或两条直线 C．双曲线一支或一条直线 D．双曲线一支或一条射线 反思感悟 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 跟踪训练1 平面内动点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是( ) A．(－4，＋∞) B．(4，＋∞) C．(－4,4) D．(－4,0)∪(0,4) 二、双曲线的标准方程的推导 例2 类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 反思感悟 求双曲线的标准方程时，合理地建立平面直角坐标系，然后利用双曲线定义求解． 跟踪训练2 设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 三、求双曲线的标准方程 知识梳理 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 a，b，c的关系 b2＝_____ 例3 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)． 反思感悟 求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况分类讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 跟踪训练3 焦点在x轴上，经过点(4，－2)和点(2，2)的双曲线的标准方程为_____. 四、根据双曲线的标准方程求参数值或范围 例4 求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知－＝－1，当k为何值时，①方程表示双曲线；②表示焦点在x轴上的双曲线；③表示焦点在y轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值． 反思感悟 (1)判定方程所表示的曲线类型，在对参数进行讨论时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x轴上和y轴上的情况． (2)确定方程所表示的曲线的类型时，首先应明确方程Ax2＋By2＝C表示双曲线的条件，即AB<0，且C≠0.化成＋＝1.若焦点在x轴上，则>0，<0；若焦点在y轴上，则>0，<0. 跟踪训练4 已知方程＋＝1. (1)若方程表示双曲线，求a的取值范围； (2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点． 1．知识清单： (1)双曲线的定义． (2)双曲线的标准方程的推导过程． (3)求双曲线的标准方程． (4)根据双曲线的标准方程求参数值或范围． 2．方法归纳：待定系数法、分类讨论． 3．常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件． 1．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 2．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是( ) A．－2＜m＜2 B．m＞0 C．m≥0 D．|m|≥2 3．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( ) A．1 B．1或－2 C．1或 D. 4．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点的双曲线的标准方程为_____． 第1课时 ... ...
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