3．2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 [学习目标] 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 一、双曲线的几何性质 问题 类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质． 知识梳理 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 性 质 范围 对称性 对称轴：_____；对称中心：_____ 顶点坐标 渐近线 离心率 e＝_____，e∈_____，其中c＝ 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而得出双曲线的几何性质． 跟踪训练1 求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． ②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)过点(2,0)，与双曲线－＝1的离心率相等． 三、求双曲线的离心率 例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 反思感悟 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝求解． (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 跟踪训练3 已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)利用双曲线的几何性质求标准方程． (3)求双曲线的离心率． 2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程(组)法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 1．双曲线－＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( ) A．6 B．8 C．9 D．10 2．双曲线－＝1的离心率为( ) A. B. C. D. 3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( ) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为_____． 第1课时 双曲线的简单几何性质 问题 1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R， 即x2≥a2，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，线段A1A2 叫作双曲线的实轴，它的长为2a，a叫作双曲线的实半轴长；线段B1B2 叫作双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫作双曲线的虚半轴长． (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内的部分的方程为y＝·， 它与y＝x的 ... ...
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