3.3.1 抛物线的标准方程 [学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.明确抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题． 一、抛物线的定义 问题1 如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处．用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹．你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 知识梳理 把平面内与一个定点F和一条定直线l(F l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 例1 在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( ) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 反思感悟 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． 跟踪训练1 在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、求焦点、准线及抛物线的标准方程 问题2 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 例2 (1)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： ①y2＝x； ②x2＝－y； ③x2＋12y＝0. (2)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． ①焦点为(－2,0)； ②准线为y＝－1； ③过点A(2,3)； ④焦点到准线的距离为. 反思感悟 (1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (2)当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． (3)求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得焦点坐标与准线方程． 跟踪训练2 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____，准线方程为_____． (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为_____． 三、抛物线定义的应用 例3 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( ) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 延伸探究 1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值． 2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 反思感悟 抛物线定义的应用 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． 跟踪训练3 已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂线，垂足为M，若G(4,0)，则|PG|＋|PM|的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 1．知识清单： (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程的四种形式． (3)抛物线定义的应用． 2．方法归纳：待定系数法、定义法． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 1．抛物线y＝－x2的准线方程是( ) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A．(1,0) B. C. D．(0,1) 3．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ) ... ...
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