培优课 与弦有关的综合问题 [学习目标] 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.2.会求解与弦长有关的问题． 一、由弦长求参数的值 例1 已知直线l：y＝kx＋1与椭圆C：＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程． 反思感悟 已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去． 跟踪训练1 椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆的方程． 二、与弦长有关的最值问题 例2 在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2,1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值． 反思感悟 求与椭圆有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围． 跟踪训练2 已知A(－2,0)，B在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，F1，F2分别为C的左、右焦点． (1)求a，b的值及椭圆C的离心率； (2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形PF1QF2的面积的取值范围． 三、中点弦问题 例3 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为_____． 跟踪训练3 过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 _____. 1．知识清单： (1)由弦长求参数的值． (2)与弦长有关的最值问题． (3)中点弦问题． 2．方法归纳：分类讨论法、点差法． 3．常见误区：忽略直线斜率不存在的情况． 培优课 与弦有关的综合问题 例1 解 由题意可得k≠0，设直线l与椭圆C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝0. |MN|＝· ＝， 整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1，或k2＝－2(舍去)．经检验k＝±1符合题意， ∴直线l的方程为y＝±x＋1， 即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 跟踪训练1 解 ∵e＝， ∴b2＝a2. ∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2， 与x＋2y＋8＝0联立消去y， 得2x2＋16x＋64－a2＝0， 由Δ>0得a2>32， 由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]． ∴a2＝36，b2＝9. ∴椭圆的方程为＋＝1. 例2 解 (1)由题意得 ∴ ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立 得3x2－4mx＋2m2－6＝0， ∴ ∴|AB|＝|x1－x2| ＝， 原点到直线的距离d＝. ∴S△OAB＝×· ＝ ≤·＝. 当且仅当m＝±时，等号成立， ∴△AOB面积的最大值为. 跟踪训练2 解 (1)因为A(－2,0)，B在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，所以 解得 所以c＝＝1，椭圆C的离心率为＝. (2)由(1)得椭圆C：＋＝1，c＝1， 故|F1F2|＝2， 因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧， 所以四边形PF1QF2的面积S＝·|F1F2|·(|yP|＋|yQ|)＝|yP|＋|yQ|∈(0,2b]，又b＝，所以S∈(0,2]， 当且仅当P，Q分别为椭圆的上顶点和下顶点时，四边形PF1QF2的面积取得最大值，即四边形PF1QF2的面积的取值范围是(0,2]． 例3 x＋2y－4＝0 解析 方法一 易知直线AB的斜率k存在，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)， 由 消去y得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点， ∴＝＝2， 解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意． 方法二 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵M(2,1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 则x＋4y＝16，x＋4y＝16， 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y ... ...
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