培优课 圆锥曲线的离心率 一、定义法 例1 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，若过F1的直线与圆x2＋y2＝2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为_____． 反思感悟 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 跟踪训练1 设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为_____． 二、几何法 例2 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 反思感悟 涉及焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得的值． 跟踪训练2 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_____． 三、寻求齐次方程求离心率 例3 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为_____． 反思感悟 利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解． 跟踪训练3 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( ) A. B．2 C.＋1 D.－1 四、求离心率的取值范围 例4 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为( ) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] 反思感悟 求离心率范围的常用思路 (1)通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围． (2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围． 跟踪训练4 已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是_____． 培优课 圆锥曲线的离心率 例1 解析 如图，设过F1(－c,0)的直线与圆x2＋y2＝2相切于点Q， 则OQ⊥PF1， 由于|OQ|＝|OF1|， 所以∠PF1F2＝30°， 因为PF2垂直于x轴， 所以tan∠PF1F2＝＝， 所以|PF2|＝， 则|PF1|＝， 因为|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以＋＝2a， 化简得a＝c， 所以离心率e＝＝＝. 跟踪训练1 解析 不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2. 根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a， 又r1＋r2＝3b， 故r1＝，r2＝. 又r1·r2＝ab， 所以·＝ab， 解得＝(负值舍去)， 故e＝＝＝ ＝＝. 例2 A [如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点， 所以OM为△PF1F2的中位线． 所以OM∥PF2， 所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°， 所以|PF1|＝2|PF2|， |F1F2|＝|PF2|. 由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|， 即a＝， 2c＝|F1F2|＝|PF2|， 即c＝，则e＝ ＝·＝.] 跟踪训练2 解析 根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点， 则 解得 又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小， ∴∠PF1F2＝30°. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得＝cos 30°， ∴2ac＝3a2＋c2. 可化为(a－c)2＝0，∴a－c＝0，∴＝，即e＝. 例3 解析 在△ABF中，|AB|＝ ，|BF|＝a，|AF|＝a＋c. 由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2， 即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2， 整理得a2＋b2＝c2＋2ac， 将b2＝a2－c2代入， 得a2－ac－c2＝0， 即e2＋e－1＝0，解得e＝. 因为0
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
