习题课 抛物线焦点弦的应用 [学习目标] 1.抛物线焦点弦的推导.2.利用抛物线的焦点弦求解弦长问题． 一、结论：x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 例1 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为( ) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 反思感悟 在选择题中运用推导得出的公式处理，就可以避免小题大做，而且可以事半功倍，起到很好的效果． 跟踪训练1 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是( ) A．直角 B．锐角 C．钝角 D．与点A，B位置有关 二、公式：|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用 例2 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 反思感悟 利用|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解抛物线焦点弦的长度问题． 跟踪训练2 经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝_____. 三、 ＋＝为定值的应用 例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( ) A．4 B. C．5 D．6 反思感悟 将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题． 跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( ) A．5 B．6 C. D. 四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 例4 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 反思感悟 把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解． 跟踪训练4 已知过抛物线y2＝2px的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为( ) A．15° B．30° C．45° D．不确定 1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错． 1．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是( ) A．y轴 B．x＝－1 C．x＝－2 D．不存在 2．过抛物线C：y＝x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，则|AB|等于( ) A. B. C．13 D．9 3．过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|等于( ) A．9或6 B．6或3 C．9 D．3 4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为_____． 习题课 抛物线焦点弦的应用 例1 C [方法一 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， 直线AB的方程为x＝my＋， 联立消去x，得 y2－2pmy－p2＝0，Δ>0恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1y2＝－p2，x1x2＝＝， 得·＝x1x2＋y1y2＝－p2 ＝－p2＝－12， 解得p＝4(负值舍去)， 即抛物线C的方程为y2＝8x. 方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由x1·x2＝，y1·y2＝－p2， 得·＝x1x2＋y1y2＝－p2 ＝－p2＝－12， 解得p＝4(负值舍去)， 即抛物线C的方程为y2＝8x.] 跟踪训练1 C [方法一 抛物线C的焦点F的坐标为(0,1)，由题意可知，直线m的斜率一定存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，Δ>0恒成立，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB为钝角． 方法二 因为抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3<0 ... ...
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