4.1.1 两个计数原理 [学习目标] 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个计数原理分析和解决一些简单的实际计数问题． 一、分类加法计数原理 问题1 某位全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘．那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？ 知识梳理 分类加法计数原理：如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法． 例1 (1)设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有( ) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 延伸探究 若条件不变，则方程－＝1表示焦点位于x轴上的双曲线有( ) A．6个 B．8个 C．12个 D．16个 (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的个数为_____． 反思感悟 利用分类加法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”． (2)利用分类加法计数原理解题的一般思路． 跟踪训练1 (1)某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( ) A．40种 B．20种 C．15种 D．11种 (2)若x，y∈N＋，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有_____个． 二、分步乘法计数原理 问题2 用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 知识梳理 分步乘法计数原理：如果完成一件事需要分成n个步骤，第一步有m1种不同的方法，第二步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，每个步骤都完成才算做完这件事，那么完成这件事共有N＝_____种不同的方法． 例2 (1)一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，则这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复) 延伸探究 若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？ (2)人们习惯把最后一位是6的多位数叫作“吉祥数”，则无重复数字的四位“吉祥数”(首位不能是0)共有_____个． 反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可． (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果． 跟踪训练2 (1)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，则不同的报名方法共有( ) A．43种 B．34种 C．7种 D．12种 (2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成的不同的二次函数共_____个，其中不同的偶函数共_____个．(用数字作答) 三、两个计数原理的简单应用 知识梳理 两个计数原理的联系与区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种类 不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 每类办法中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立， 不重不漏 步步相依，步骤完整 例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ ( ... ...
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