4.2.1 排 列 [学习目标] 1.理解并掌握排列的概念.2.能用计数原理推导排列数公式.3.能应用排列数公式解决简单的实际问题． 一、排列的概念 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 知识梳理 1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照_____排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其_____完全相同． 例1 判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． 反思感悟 判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑 (1)“取”，检验取出的m个元素是否重复； (2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是交换两个元素的位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 跟踪训练1 下列问题是排列问题的是( ) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 二、简单的排列问题 例2 用具体数字表示下列问题． (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数． 反思感悟 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么． 跟踪训练2 (1)沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为( ) A．15 B．30 C．12 D．36 (2)12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有_____种不同的获奖情况． 三、排列数公式 问题2 怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N＋，m≤n)个元素的排列数A？ 知识梳理 1．排列数的定义 从n个_____中取出m(m≤n)个不同的元素，所有_____的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_____表示． 2．排列数公式及全排列 (1)A＝_____，其中n，m∈N＋，并且m≤n. (2)A＝_____. (3)从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列，叫作n个元素的一个全排列，此时A＝_____(叫作n的阶乘)．规定：0！＝_____. 例3 (1)计算A. (2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)． 反思感悟 排列数的计算方法 排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行．应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． 跟踪训练3 (1)用排列数表示n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋m)． (2)若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是( ) A．3 B．8 C．0 D．5 四、排列数公式的简单应用 例4 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？ 反思感悟 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式 ... ...
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