4.3.2 排列、组合的综合应用 [学习目标] 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.2.理解排列、组合中的分组分配等问题． 一、有限制条件的排列、组合问题 例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 跟踪训练1 (1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭．则每天午餐不同的搭配方法共有( ) A．210种 B．420种 C．56种 D．22种 (2)甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有( ) A．27种 B．18种 C．36种 D．48种 二、分组、分配问题 问题 将甲、乙两名同学分成两组，有多少种分法？将甲、乙两名同学分成两组，分别去参加上午、下午的活动，有多少种分法？ 角度1 不同元素分组、分配问题 例2 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 反思感悟———分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． 角度2 相同元素分配问题 例3 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，在下列条件下各有多少种不同的放法． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子． 反思感悟 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板． 跟踪训练2 (1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有_____种．(用数字作答) (2)将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1,2,3,4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为_____． 1．知识清单： (1)有限制条件的排列、组合问题． (2)分组、分配问题． 2．方法归纳：分类讨论法、插空法、隔板法、均分法． 3．常见误区：分类不当；平均分组理解不到位． 1．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( ) A．30 B．60 C．120 D．240 2．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( ) A．205 B．110 C．204 D．200 3．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其 ... ...
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