4.4.1 二项式定理 [学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 一、二项式定理 问题 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a＋b)2的展开式：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程呢？ 知识梳理 二项式定理 (a＋b)n＝_____ _____. (1)这个公式称为二项式定理． (2)展开式：右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有_____项． (3)二项式系数：各项的系数C(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数． (4)通项：(a＋b)n展开式的第_____项叫作二项展开式的通项，记作Tr＋1＝_____. 二、二项式定理的正用与逆用 例1 (1)求4的展开式； (2)化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 延伸探究 若将例1(2)的式子变为“1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC”，求化简结果． 反思感悟 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 跟踪训练1 (1)求5的展开式； (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC. 三、二项展开式的通项的应用 角度1 二项式系数与项的系数 例2 在二项式9的展开式中，求： (1)第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)x3的系数． 角度2 展开式中的特定项 例3 在二项式12的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项． 反思感悟 (1)正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． (2)求二项展开式特定项的步骤 跟踪训练2 (1)在6的展开式中，x6的系数是_____． (2)二项式6的展开式中的常数项是( ) A．160 B．－160 C．20 D．－20 1．知识清单： (1)二项式定理． (2)二项式定理的正用与逆用． (3)二项展开式的通项的应用． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区：二项式系数与项的系数的区别，Can－rbr是展开式的第r＋1项． 1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是( ) A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2(n＋1) 2.9的展开式中的第4项是( ) A．56x3 B．84x3 C．56x4 D．84x4 3.4的展开式中的常数项为_____． 4．代数式(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1可化简为_____． 4.4.1 二项式定理 问题 从上述过程可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有C·C＝22项，而且每一项都是a2－r·br(r＝0,1,2)的形式．而且a2－rbr相当于从2个(a＋b)中取r个b的组合数C. 知识梳理 Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn (2)n＋1 (4)r＋1 Can－rbr 例1 解 (1)方法一 4 ＝C(3)4＋C(3)3＋ C(3)22＋C·33＋C4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二 4＝4＝(1＋3x)4＝[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4] ＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4) ＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 延伸探究 解 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n. 跟踪训练1 解 (1)方法一 5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋C(2x)32＋ C(2x)23＋C(2x)·4＋C5 ... ...
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