4.4.2 二项式系数的性质 [学习目标] 1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用． 一、杨辉三角 问题1 根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的展开式的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 知识梳理 1．在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等． 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即C＝C＋C. 例1 (1)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( ) A．8 B．6 C．4 D．2 (2)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n展开式中x3的系数为( ) A．80 B．40 C．－40 D．－80 反思感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察． (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律． (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解． 跟踪训练1 (1)已知n的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则n等于( ) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( ) A．20 B．21 C．22 D．23 二、二项式系数的增减性与最大值 知识梳理 1．对称性：二项式系数f(r)关于直线r＝对称，即f(r)＝f(n－r)．在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C＝C. 2．单调性与最大值：二项式系数f(r)从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，展开式的项数n＋1是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式的项数n＋1是偶数，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值． 例2 (1)在(2＋x)6的展开式中，二项式系数最大的项是( ) A．第3项和第4项 B．第4项和第5项 C．第3项 D．第4项 (2)已知f(x)＝(＋3x2)5，求展开式中二项式系数最大的项． 反思感悟 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 跟踪训练2 (1)在(1－x)2n－1的展开式中，二项式系数最大的项是( ) A．第n－1项 B．第n项 C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 (2)若2n的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为( ) A．120 B．252 C．210 D．45 三、二项展开式的系数和问题 问题2 在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？ 例3 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 反思感悟 求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 跟踪训练3 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R)． (1)求a0的值； (2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值； (3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值． 1．知识清单： (1)杨辉三角． (2)二项式系数的性质． (3)二项展开式的系数和问题． 2．方法归纳：赋值法． 3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数． 1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相等的项是( ) A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 2.11的展开式中二项式系数最 ... ...
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