习题课 二项式定理的综合应用 [学习目标] 1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 一、两个二项式积的问题 例1 (1)(1＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为( ) A．5 B．10 C．15 D．20 (2)已知(2x－a)6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为_____． 反思感悟 两个二项式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 跟踪训练1 若5的展开式中各项系数的和为2，则a＝_____，该展开式中的常数项为_____． 二、三项展开式问题 例2 5的展开式中的常数项是_____． 反思感悟 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为_____． 三、整除和余数问题 例3 (1)定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，比如：26≡16(mod 10)．已知n＝C＋C×8＋C×82＋…＋C×810，满足n≡p(mod 7)，则p可以是( ) A．23 B．31 C．32 D．19 (2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 023＋a能被13整除，则a＝_____. 反思感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项即可． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 跟踪训练3 (1)求415除以15的余数； (2)证明：32n＋3＋72n－27(n∈N＋)能被96整除． 四、二项展开式中的系数最值问题 例4 在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． 反思感悟 求解二项展开式中系数最值的策略 (1)求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 跟踪训练4 已知n的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项． 1．知识清单： (1)两个二项式积的问题． (2)三项展开式问题． (3)整除和余数问题． (4)二项展开式中的系数最值问题． 2．方法归纳：分类讨论、方程思想等． 3．常见误区：分类不当、重复或遗漏． 1．在x(1＋x)6的展开式中，x3的系数为( ) A．30 B．20 C．15 D．10 2．9192被100除所得的余数为( ) A．1 B．81 C．－81 D．992 3．(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为( ) A．25 B．35 C．45 D．(x＋3)5 4．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为_____． 习题课 二项式定理的综合应用 例1 (1)C [因为二项式(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x2)(1＋x)5的展开式中含x4的项为1×Cx4＋x2×Cx2＝15x4，所以x4的系数为15.] (2)－640 解析 6的展开式的通项为 Tr＋1＝Cx6－rr＝C2rx6－2r(r＝0,1,2,3,4,5,6), 令6－2r＝1，得r＝(舍去)； 令6－2r＝2，得r＝2. 故(2x－a)6的展开式中x2的系数为－aC22＝－240， 解得a＝4. 令6－2r＝－1，得r＝(舍去)； 令6－2r＝0，得r＝3. 故(2x－4)6的展开式中的常数项为－4C·23＝－640. 跟踪训练1 1 40 解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，则a＝1， 故5的展开式中的常数项即为5的展开式中与x的系数 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
