一、两个计数原理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性． 2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1 (1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为( ) A．484 B．472 C．252 D．232 (2)设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为( ) A．(34,34) B．(43,34) C．(34,43) D．(A，A) (3)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位“回文数”有9个：11,22,33，…，99；3位“回文数”有90个：101,111,121，…，191,202，…，999，则 ①4位“回文数”有_____个； ②2n＋1(n∈N＋)位“回文数”有_____个． 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么． (2)思考如何完成这件事． (3)判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类． (4)选择计数原理进行计算． 跟踪训练1 (1)用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法( ) A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 (2)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中，若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有_____个．(用数字作答) 二、排列与组合的综合应用 1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则． 2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养． 例2 在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目． (1)当4个舞蹈节目排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 反思感悟 解决排列、组合综合问题要注意以下几点 (1)首先要分清该问题是排列问题还是组合问题． (2)对于含有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，再考虑是分类还是分步，分类时要不重不漏，分步时要步步相接． (3)对于含有“至多”“至少”的问题，常采用间接法，此时要考虑全面，排除干净． 跟踪训练2 6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演． (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 三、二项式定理及其应用 1．二项式定理有比较广泛的应用，可用于代数式的化简、变形、证明整除、近似计算、证明不等式等，其原理可以用于二项式相应展开式项的系数求解． 2．掌握二项式定理，提升数学运算素养． 角度1 二项展开式的“赋值问题” 例3 (1)若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0，求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2. 反思感悟 在二项展开式中应用“赋值法”的一般步骤 (1)观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征． (2)赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等 ... ...
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