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课件网) 11.4.2 课时2 面面垂直的性质定理及应用 第十一章 立体几何初步 1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决问题. 2.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的相互联系. 思考：教室四周的墙壁和地面是垂直的，墙壁面上的线都与地面垂直吗？在墙壁上怎样画线才能保证所画的线与地面垂直？ 不一定. 当直线与墙壁和地面的交线垂直时，线与地面垂直. 如图，设 AO ∩ β = O，过 O 在平面 β 内作与 m 垂直的直线 OB，则∠AOB 为二面角 A-m-B 的平面角； 因为 α⊥β，所以∠AOB = 90°，因此 AO⊥OB； 又因为AO⊥m，m∩OB = O，m β 且 OB β， 所以 AO⊥ β. 思考：结合证明过程说说若平面 α 与平面 β 互相垂直，你能得出什么结论？ 问题：如图，a⊥β，a∩β = m，AO α，AO⊥m，试证明：AO⊥ β. O m α A β B 归纳总结 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 符号表示：如果 a⊥β，a∩β = m，AO a，AO⊥m，则AO⊥β. B O m α A β 练习：(多选)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是( ) A.若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β B.若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α C.若α⊥β，m⊥β，m α，则m∥α D.若α⊥β，m∥α，则m⊥β AC m还可能在α内或m∥α或m与α斜交 m与β的位置关系可能是m∥β或m β或m与β相交 例1 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD= CD=2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC. 求证：BC⊥平面ACD. E 证：如题图(1)，在梯形ABCD中， AD=CD=2，∠ADC=90°， 过C作CE⊥AB，E为垂足， ∴四边形AECD为正方形，∴CE=AE=EB=2， ∴∠ACE=∠BCE=45°， ∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， 如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC， 又BC 平面ABC且BC⊥AC，∴BC⊥平面ACD. 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直. (2)直线必须在其中一个平面内. (3)直线必须垂直于它们的交线. 归纳总结 例2 如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动. (1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD； (2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论. 解:(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE， 因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC， 又CE 平面ABC，所以DE⊥CE. 由已知得DE=，EC=1，在Rt△DEC中，CD= =2. (2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD. 证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD， 所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD. ②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE. 又因为AC＝BC，所以AB⊥CE. 又因为DE，CE为平面CDE内的两条相交直线， 所以AB⊥平面CDE.由CD 平面CDE，得AB⊥CD. 综上所述，总有AB⊥CD. 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下： 1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是( ) A.m∥n B.n⊥m C.n∥α D.n⊥α 2.(多选)已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列位置关系中，一定成立的是( ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β B ABC 3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝_____. 4.如图，已知 α⊥β，在 α 与 β 的交线上取线段 AB = ，且 AC，BD 分别在平面 α ... ...
