备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题6 向量 全国联赛真题汇编 1．（2023·全国联赛A卷）若平面上非零向量满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由，不妨设，其中，并设，则由得，由得． 所以． 取，此时取到最小值． 2．（2023·全国联赛B卷）平面上五点满足，，则的值为_____． 【答案】3 【详解】记．由条件知，于是 3．（2022·全国联赛A1卷）若满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】由条件知，于是 各省预赛试题汇编 4．（2024·吉林预赛）在四边形中，，设．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 过作，又，∴四边形是平行四边形． ，又．， 又，则．故选B． 5．（2023·吉林预赛）已知等腰梯形中，，则（ ） A． B．-10 C． D．-9 【答案】B 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， ， 从而， 故选． 6．（2022·吉林预赛）在中，若为的内心，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长交于，则， 而， 于是，所以选． 7．（2024·贵州预赛）已知的外心为，若有最大值，则参数_____． 【答案】 【详解】依题意，，且 则， 所以且． 8．（2024·福建预赛）在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 【答案】5 【详解】如图，点在以为圆心，1为半径的圆上，且由极化恒等式， 所以的最大值为5． 9．（2024·浙江预赛）已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，，，， 于是，． 由向量与向量垂直，得到． ， 当，时，取到最小值． 10．（2024·内蒙古预赛）已知在中，，，则线段的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：的外接圆半径， 则点在优弧（不包括端点）上， 可知当线段过外接圆的圆心时，线段取到最大值， 取的中点，连接，则， 可得， 所以线段的最大值为． 11．（2024·新疆预赛）在空间四边形中，，则_____． 【答案】22 【解析】以为基底，则 所以 得 因此． 12．（2024·上海预赛）已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】 如图，不妨设，则四点共圆． 由于，于是． 综上可知的最大值为． 13．（2024·重庆预赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由条件知： ， 由余弦定理，得， 即，解得， 故最大角为角，由余弦定理得． 14．（2023·北京预赛）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由题意得 又当时，不合题意． 所以的取值范围是． 15．（2023·福建预赛）在锐角中，为外角平分线上的一点，若，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】如图，为角对应的旁心，设， 外接圆直径 ， 而， 于是． 又设， 则， 且． 由于， 所以． 16．（2023·贵州预赛）已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 【答案】 【详解】．不妨设， 所以． 17．（2023·山东预赛）设的内心为，且满足，则的值是_____． 【答案】 【详解】如图，连接交于点，则，于是． 又，因此 同理可得，， 以上三式相加得． 由向量表示的唯一性可知，，所以． 18．（2023·四川预赛）设平面向量满足：．点为平面上的三点，满足，则的面积为_____． 【答案】7 【详解】设，则． 所以． 19．（2023·新疆预赛）在中，分别是线段上的点，且是线段上的三个动点，且，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】如图，， 则 于是，等号成立时． 所以的最小值是． 20．（2023·浙江预赛）设为两个垂直的平面向量，且．当时，记向量与向量最大夹角为，则_____． 【答案】 【详解】设． 显然三点共线，设，则． ． 如图所示，令， 当时，；当时， ... ...
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