备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题5 解三角形 全国联赛真题汇编 1．（2022·全国联赛B卷）若的三个内角满足，则的值为_____． 2．（2024·全国联赛A卷）在中，已知，求的值． 3．（2024·全国联赛B卷）在中，已知，求的值． 4．（2022·全国联赛A卷）若的内角满足，求的值． 各省预赛试题汇编 5．（2024·江苏预赛）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 6．（2024·贵州预赛）在中，角所对的边分别是，若，且，则周长的取值的集合为_____． 7．（2024·四川预赛）设中，，，则面积的最大值为 ． 8．（2024·吉林预赛）在中，平分交于平分交于，且，则的度数为_____． 9．（2023·北京预赛）已知在中，，则_____． 10．（2023·贵州预赛）的三边分别为，记边上的中线长分别为， 则的最小值是_____． 11．（2023·四川预赛）设是的三个内角，则的取值范围为_____． 12．（2023·苏州预赛）钝角三角形的三边长分别为，则实数的取值范围是_____． 13．（2023·新疆预赛）在中，分别为三个内角的对应边，若．试求当取得最大值时，_____． 14．（2022·四川预赛）若的三边满足，则面积的最大值为_____． 15．（2022·北京预赛）设的三个内角分别为，记的最大值为，则将写成最简分数后的分子分母之和为_____． 16．（2022·北京预赛）中，，作交于．已知，设为的面积，则写成最简分数后的分子分母之和为_____． 17．（2024·贵州预赛）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．意大利数学家托里拆利给出了解答：当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点即为费马点．试用以上知识解决下面问题： (1)试用尺规作图画出下图中的费马点；(保留作图痕迹并写出简单的证明过程) (2)已知的内角所对的边分别为且，点为的费马点，求； (3)点为的费马点，，求实数的最小值． 18．（2023·上海预赛）给定Rt，其中．点分别在边上，使得是正三角形，求面积的最小值． 19．（2022·重庆预赛）已知分别为的三个内角的对边，，且 若为边的中点，求长的最小值． 20．（2022·广西预赛）工兵用信号探测器探测边长为2千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为千米．从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？(要求说明理由) 21．（2022·新疆预赛）直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边上，且，求的最小值． 22．（2022·甘肃预赛）的内角的对边分别为，已知的面积为． (1)求； (2)若，求的周长． 21世纪教育网(www.21cnjy.com)备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题5 解三角形 全国联赛真题汇编 1．（2022·全国联赛B卷）若的三个内角满足，则的值为_____． 【答案】2 【详解】由知． 假如，则，此时，矛盾． 从而只能是，进而有．所以 这等价于．进而． 2．（2024·全国联赛A卷）在中，已知，求的值． 【答案】 【详解】由条件知． 假如，则，但，矛盾． 所以只可能．此时． 注意到，故，所以，结合条件得 又，化简得，解得． 3．（2024·全国联赛B卷）在中，已知，求的值． 【答案】 【解析】， 若，则， 于是，矛盾： 因此，则， 于是， 两边平方得，解得(舍去)． 综上，． 4．（2022·全国联赛A卷）若的内角满足，求的值． 【答案】 【详解】由知，但有意义，故不为直角，从而只能是，进而有． 所以，从而 上式等价于，于是 5．（2024·江苏预赛）设圆内接四边形的边长分别为，则该圆的直径长为_____． 【答案】 【详解】如图，设， 则． 于是，从而． 所以该圆的直径长为． 6．（2024·贵州预赛）在中，角 ... ...
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