8.5 课时1 平方差公式 课件(共17张PPT) 2024-2025学年冀教版（2024）初中数学七年级下册

(课件网) 8.5 课时1 平方差公式 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用. 2.理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式解决问题. 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 1. 计算： (1) (x+1)(x－1)=_____. (2) (a+2)(a－2)=_____. (3) (2x+1)(2x－1)=_____. (4) (a+b)(a－b)=_____. 思考：1.上面四个式子中，两个乘式之间有什么特点？ 2.乘积合并同类项后是几项式？这个多项式有什么特点？ (a＋b)(a－b)＝a 2－b 2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 这个公式叫做平方差公式. 如图（a），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（b）所示的长方形. a b 图（a） a b a-b 图（b） 解：图（b）中的面积为( a+b )( a-b )，图（a）中的剩余部分的面积为a2-b2. 由题可知，图（b）的面积为图（a）剩余部分的面积， 所以( a+b )( a-b )=a2-b2. 思考：1.两个图形的面积有什么关系？ 2.结合图形，说说平方差公式( a+b )( a-b )=a2-b2有什么几何背景？ 化简 x y x2－y2 1 3y 12－ (x + y)(x－y) 按要求填写下面的表格 1－ 例 1 计算： a b 解： 利用平方差公式计算，必须找到相同的项和互为相反数的项 a b a b (3m＋2n)(3m－2n) 变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n) 变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) = (-3m)2-(2n)2 变一变，你还能做吗？ = (-2n)2-(3m)2 = (3m)2-(2n)2 对于不符合平方差公式标准形式的算式，可以先利用加法交换律，将其变成公式的标准形式后，再用公式计算. 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等． (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）(x+2)(x-2)=x2-2 （2）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对 改正： （1）（x+2)(x-2)=x2-4 不对 改正方法1： (-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2)(3a-2)] =-(9a2-4) =-9a2+4 改正方法2： (-3a-2)(3a-2)=(-2-3a)(-2+3a) =(-2)2-(3a)2 =4-9a2 （1）(a+3b)(a- 3b)； =4a2－9； =4x4－y2； 原式=(2a+3)(2a-3) =a2－9b2 ； =(2a)2－32 原式=(-2x2 )2－y2 原式=(9x2－16) -(6x2+5x -6) =3x2－5x－ 10. 解：原式=(a)2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)； （4）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). （3）(－2x2－y)(－2x2+y)； 2.利用平方差公式计算： 3.计算： 解： 原式= 20152 － (2015－1)(2015+1) = 20152 － (20152－12 ) = 20152 －20152+12 =1. 原式=(50+1)(50-1) =502－12 =2500-1 =2499； （1）51×49； (2) 20152 － 2014×2016. 4.利用平方差公式计算: (1) (a-2)(a+2)(a2 + 4); 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16; (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8. 5.已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a 2－b 2的值． 把b－c＝2，a＋c＝14相加得：a＋b＝16， 所以a 2－b 2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32. 解： 6.探究活动： (1)如图①，可以求出阴影 部分的面积是_____ (写成两数平方差的形式)； (2)若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形如图②，面积是_____ (写成多项式乘法的形式)； (3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式_____． a2－b2 (a＋b)(a－b) (a＋b)(a－b)＝a 2－b 2 平方差公式 内容 注意事项 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2 ... ...