
第六、七章练习 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量,,,若,则实数( ) A. B. C.1 D.2 2.已知,则的值为( ) A. B.0 C.1 D.2 3.已知边长为4的菱形,,为的中点,为平面内一点,若,则( ) A.16 B.14 C.12 D.8 4.在复平面内,复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称,则( ) A. B. C.5 D. 5.在 中,角 的对边分别为,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 6.已知复数,则( ) A.2022 B.2023 C. D. 7.古希腊数学家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点,若,则( ) A. B. C. D. 8.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题:已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下:当三角形的三个角均小于时,所求的点为三角形的正等角中心,即该点与三角形三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时,所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知a,b,c分别是的内角A,B,C所对的边,且,若P为的费马点,则( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设为复数,则下列结论中正确的是( ) A.若为虚数,则也为虚数 B.若,则的最大值为 C. D. 10.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车,(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”,奔驰定理:已知O是内一点,,,的面积分别为,,,且.设是锐角内的一点,、、分别是的三个内角,以下命题正确的有( ) A.若,则 B.若,,,则 C.若O为的内心,,则 D.若O为的垂心,,则 11.1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式(是自然对数的底,是虚数单位),这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,已知复数,,在复平面内对应的点分别为,,,且的共轭复数为,则下列说法正确的是( ) A. B.表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C. D.若,为两个不同的定点,为线段的垂直平分线上的动点,则 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.复数满足,则 . 13.已知为所在平面内一点,且,连接,点在线段上且.若,则 . 14.已知平面向量,,满足与的夹角为锐角,,,,且的最小值为,向量的取值范围是 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.已知 (1)求与方向相同的单位向量; (2)若与单位向量垂直,求,. 16.已知,为虚数单位,复数. (1)若,求m的值; (2)若复数z对应的点在第三象限,求m的取值范围. 17.已知向量,,设函数. (1)求函数的最大值,及取得最大值时x取值的集合; (2)设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,若,,求的值. 18.设为坐标原点,向量、、分别对应复数、、,且,,. 已知是纯虚数. (1)求实数的值; (2)若三点共线,求实数的值. 19.任意一个复数的代数形式都可写成三角形式,即,其中为虚数单位,,,,.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667~1754)创立,指的是设两个复数用三角函数形式表示为:,,则,,且.若令,则能导出复数乘方公式:.请用以上知识解决以下问题: (1)试将写成三角形式; (2)已知,,,求的值; (3)设,,,当时,求的最大值和最小值. 答案解析部分 1.A 2.C 3.B ... ...
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