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课件网) 7 第1课时 相似三角形中特殊对应线段的性质 第四章 图形的相似 7 第1课时 相似三角形中特殊对应线段的性质 探究与应用 课堂小结与检测 第四章 图形的相似 探究 对应线段的比与相似比的关系 [问题情境] 如图4-7-1,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱. 图4-7-1 (1)△ACD与△A'C'D'相似吗 为什么 如果相似,指出它们的相似比; 图4-7-1 解: △ACD∽△A'C'D'.理由: 由题意得∠A=∠A',∠ADC=∠A'D'C'=90°, ∴△ACD∽△A'C'D'. 相似比是1∶2. (2)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高 图4-7-1 解:由CD∶C'D'=1∶2,得C'D'=2CD=3 cm,即模型房的房梁立柱高3 cm. [推理论证] 已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k,它们对应高的比是多少 对应角平分线的比是多少 对应中线的比呢 请证明你的结论. 解: △ABC与△A'B'C'对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都为k.证明如下: (1)如图①所示.∵△ABC∽△A'B'C',且CD和C'D'分别是△ABC和△A'B'C'对应边上的高. ∴∠A=∠A',∠ADC=∠A'D'C'=90°. ∴△ADC∽△A'D'C'. ∴=k. (2)如图②所示.∵△ABC∽△A'B'C', ∴∠A=∠A',∠ACB=∠A'C'B'. ∵CE,C'E'分别是△ABC和△A'B'C'的对应角平分线, ∴∠ACE=∠ACB,∠A'C'E'=∠A'C'B'. ∴∠ACE=∠A'C'E'. ∴△AEC∽△A'E'C'. ∴=k. (3)如图③所示.∵△ABC∽△A'B'C', ∴∠A=∠A',. ∵CF,C'F'分别是△ABC和△A'B'C'对应边上的中线, ∴.∴. ∴△ACF∽△A'C'F'.∴=k. [概括新知] 相似三角形的性质定理:相似三角形对应高的比、对应角平 分线的比、对应中线的比都等于 . 相似比 [启发思考] 如图4-7-2,已知△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为k;点D,E在BC边上,点D',E'在B'C'边上. 图4-7-2 (1)若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少 图4-7-2 解:由“两角分别相等的两个三角形相似”,可知△ABD∽△A'B'D',于是=k. (2)若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少 图4-7-2 解:由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”,可知△ABE∽△A'B'E',于是=k. (3)仿照(1)(2)你还能提出哪些问题 图4-7-2 解:答案不唯一.例如,若∠BAD=∠BAC,∠B'A'D'=∠B'A'C',则等于多少 若BE=BC,B'E'=B'C',则等于多少 (4)问题(1)中的线段AD与A'D'、问题(2)中的线段AE与A'E'有什么共同的特点 解:是对应线段. 图4-7-2 [概括新知] 在相似三角形中,对应线段的比都等于 . 相似比 应用 利用对应线段的比等于相似比解决问题 例1 (1)如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3,那么它们的对应边之比是 ; (2)如果两个相似三角形的对应边之比为3∶7,其中一个三角形的一边上的中线长为2,那么另一个三角形对应中线的长 为 . 2∶3 或 例2 (教材典题)如图4-7-3,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢 图4-7-3 解:∵SR⊥AD,BC⊥AD,∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴(相似三角形对应高的比等于相似比), 即. 当SR=BC时,得,解得DE=h. 当SR=BC时,得,解得DE=h. 在运用相似三角形中对应线段的性质定理时,要注意分清线段的“对应”关系,以及两个相似三角形的顺序. 知 关键 [本课时认知逻辑] 相似 三角形 实际 问题 计算或证明 建模 解决 计算、 推理 相似三角形 的性质定理 对应线段 的比等于 相似比 拓展 [检测] 1.已知△ABC∽△A1B1C1,顶点A,B,C分别与点A1,B1,C1对应, AC=12,A1C1=8,△ABC的高AD为6,那么△A1B1C1的高A1D1为 . 4 2.已知△ABC∽△A1B1C1,顶点A,B,C分别与A1,B1,C1对应,AD, A1D1分别是△ABC和△ ... ...
