角平分线的性质定理 角平分线上的点到 ． 符号语言：如图， ∵点P在∠AOB的平分线OC上， ， ∴PD＝PE. 角平分线性质定理的逆定理 在一个角的内部，并且 ，在这个角的平分线上． 符号语言：如上图所示， ∵PD＝PE， ， ∴点P在∠AOB的平分线OC上． 尺规作图 作一个角的角平分线． 角平分线的性质 典例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝CF. 典例1图 求证：BD＝DF. 变式 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝ cm. 变式图 角平分线性质定理的逆定理 典例2 如图，BM，CN是△ABC的两条角平分线，相交于点P. 典例2图 求证：点P在∠BAC的平分线上． 变式 [2023春·双峰县期末]如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝ ． 变式图 1．[2024·青海]如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( ) 第1题图 A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图， AB⊥BC于点B, AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠CAD的度数是( ) 第2题图 A．90° B．60° C．30° D．15° 3．[2024春·呈贡区期末]两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线OA重合，另一把直尺的下边缘与射线OB重合，连接OP并延长．若∠BOP＝25°，则∠AOP的度数为( ) 第3题图 A．12.5° B．25° C．37.5° D．50° 4．[2024秋·船营区校级月考]如图，在△ABC中， AD平分∠BAC, DE⊥AB，若AC＝9，DE＝4，则S△ACD＝ ． 第4题图 5．[2024·右玉县四模]已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上， PM⊥AD, PN⊥CD，垂足分别是M，N.试说明：PM＝PN.三角形三内角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等． 三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心，无论是锐角三角形，钝角三角形还是直角三角形，其内心一定在其内部． 尺规作图 作角平分线与垂直平分线． 三角形三内角平分线的性质 典例 已知：如图公路AE，AF，BC两两相交，在三条公路围成的△ABC区域内， 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 典例图 解：作法如下： 典例图 尺规作出∠BAC，∠ABC，∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为O点． 证明：∵点O是∠BAC与∠ABC平分线的交点， ∴点O到公路AE，AF，BC的距离相等； ∴点O即为所求作的点． 根据角平分线的性质及作法，即可作得． 变式 如图所示是一块三角形草坪，现在要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( C ) 变式图 A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 1．[2024·深圳]在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是( B ) 第1题图 A．①② B．①③ C．②③ D．只有① 2．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是( C ) 第2题图 A．S1>S2＋S3 B．S1＝S2＋S3 C．S1
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