6.2.4　向量的数量积第2课时课件(共42张PPT)-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(课件网) 第2课时　向量数量积的运算律及其应用 第六章　平面向量及其 6.2　平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 整体感知 [学习目标]　1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． [讨论交流]　预习教材P20－P22的内容，思考以下问题： 问题1．向量数量积的运算有哪些运算律？ 问题2．如何利用数量积求向量的模、夹角等问题． [自我感知]　经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究建构 探究1　向量数量积的运算律 【链接·教材例题】 例11　我们知道，对任意a，b∈R，恒有 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2． 对任意向量a，b，是否也有下面类似的结论？ (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． [解]　(1)(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b ＝a2－b2． 因此，上述结论是成立的． [新知生成] 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝_____． (2)(a－b)2＝_____． (3)(a＋b)·(a－b)＝_____． a2＋2a·b＋b2 a2－2a·b＋b2 a2－b2 【教用·微提醒】　 (1)a·b＝b·c推不出a＝c． (2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． 【链接·教材例题】 例12　已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)． [解]　(a＋2b)·(a－3b) ＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a||b|cos θ－6|b|2 ＝62－6×4×cos 60°－6×42 ＝－72． [典例讲评]　1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A． a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b与c不垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 √ √ √ ACD　[根据数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误； ∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形， ∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；显然D正确． 故选ACD．] 反思领悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律． [学以致用]　1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．0 B　[由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1， ∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．] √ 探究2　与向量模有关的问题 [典例讲评]　2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|； (2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b． [解]　(1)由题意可知 a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1， 所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝a2＋4a·b＋4b2 ＝4＋4×1＋4×1＝12， 因此|a＋2b|＝2． (2)由题意可知|a＋b|2＝|a－b|2， 即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0． 反思领悟　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [学以致用]　2．(1)(多选)单位向量a，b的夹角为锐角，则的取值可能为(　　) A．1　　　B．1.5　　　C．2　　　D．2.5 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝_____． √ √ (1)BC　(2)　[(1)由题知，令a与b的夹角为θ，则0