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课件网) 19.1.2 矩形的判定 学习目标 1.理解并掌握矩形的判定定理（重点） 2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题（难点） 新课导入 思考一下：根据上节课学习，矩形有什么性质？ 四个角都是直角 两条对角线相等 根据矩形的性质，如何判定一个四边形是矩形呢？ 新课学习 试一试：作一个三个角都是直角的四边形 步骤: 1.任意作两条互相垂直的线段 AB、AD; 2.过点B 作垂直于 AB 的直线 l; 3.过点D作垂直于 AD 的直线 m,交l于点 C,即得矩形ABCD. B A D l m C 观察你所做的图形，它是矩形吗？ 新课学习 矩形的判定方法 矩形的判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 几何语言 A B C D ∟ ∵在 ABCD中∠B=90° ∴四边形ABCD是矩形 新课学习 证明上述的判定定理 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 新课学习 试一试：作一个对角线相等的平行四边形 步骤: 1.任意作两条相交的直线,交点记为 O； 2.以点 O为圆心、适当长为半径画弧,在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD； 3.顺次连接所得的四点，即得矩形 ABCD. O D A C B 观察你所做的图形，它是矩形吗？ 新课学习 矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形的判定方法 几何语言 A B C D O ∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 新课学习 证明上述的判定定理 已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形. A D C B O 在 ABCD中，AB=DC, BD=CA, AD=DA ∴△BAD≌△CDA(SSS) ∴∠BAD=∠CDA ∵AB∥CD ∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝90° ∴四边形ABCD是矩形 新课学习 例1 已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH.求证四边形EFGH是矩形． B C D E F G H O A 分析：根据已知条件,我们可以先证明四边形 EFGH是平行四边形,再证明对角线EG和FH 相等,即可得证. 新课学习 B C D E F G H O A ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH 即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） 新课学习 例2 如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.求证：四边形BMDN是矩形. 分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形. 新课学习 ∵△ABD和△BCD是全等的正三角形， ∴∠ADB=∠CDB=60°. 又∵M、N分别为BC、AD的中点， ∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=30°， ∴∠DNB=∠DMB=90°， ∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°， ∴四边形BMDN是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形). 新课学习 例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形. 分析：根据已知条件AB=AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=AB=AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理. 新课学习 ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠B=∠ACB，BD=DC. 又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠1=∠2，∠CAF=∠1+∠2=∠B+∠ACB， ∴∠1=∠B, ∴AE∥BC. 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD,AB=DE 又∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的 ... ...
