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课件网) 选择必修三 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.4 组合数 教学目标 学习目标 数学素养 1.通过探索排列与组合的关系得到求组合数的方法. 1.类比归纳的数学素养. 2.能利用组合数公式和性质解决一些简单的组合问题. 2.数学运算素养和逻辑推理素养. 温故知新 1.组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)． 2.“组合”与“排列”的联系与区别 排列 组合 共同点 不同点 完成这件事情共分几步 从n个不同元素中取出m个元素 元素的顺序有关 元素的顺序无关 第1步、取；第2步、排 仅一步、取 只有元素且顺序也相同的两个排列是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 温故知新 ⑵阶乘形式：.（，并且） 性质：.我们规定，. 4.排列数公式 ⑴乘积形式：.（，并且） 3.排列数 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示. 知新探究 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并从3个不同元素中取出2个元素的组合数 =3. 类比排列数，我们引进组合数概念： 前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 符号中的C是英文combination（组合）的第一个字母. 例如, 从3个不同元素中取出2个元素的组合数, 表示为, 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为. 知新探究 前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 运用同样的方法, 我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数. 设这4个元素为a, b, c, d， 组合 a,b,c a,b,d a,c,d b,c,d abc, acd, bca, bac, cab, cba abd, adb, bad, bda, dab, dba acd, adc, cad, cda, dac, dca bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb 排列 那么从中取出3个元素的排列数=24，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图所示，因此组合数=4. 知新探究 第2步, 将取出的3个元素做全排列, 共有种不同的取法. 第1步, 从4个元素中取出3个元素作为一组 , 共有种不同的取法； 于是，根据分步乘法计数原理有 即 . 同样地, 求“从n个元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到: 前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”: 第1步, 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有种不同的取法； 第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有种不同的取法. 知新探究 因此， 于是，根据分步乘法计数原理有 即 . 同样地, 求“从n个元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到: 前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 第1步, 从n个元素中取出m个元素作为一组 , 共有种不同的取法； 第2步, 将取出的m个元素做全排列, 共有种不同的取法. . 这里n，m∈N*，并且m≤ n. 这个公式叫组合数公式. 知新探究 从n 个不同元中取出m个元素的排列数 另外,我们规定. . 这里n，m∈N*，并且m≤ n. 这个公式叫组合数公式. ∵. ∴. 上面的组合公式还可以写成 . . 乘积式 阶乘式 知新探究 【例1】计算：⑴； ⑵； ⑶； ⑷. 解： ⑴； 根据排列组合数公式，可得 ⑵； ⑶； ⑷=1. 观察例1的⑴与⑵，⑶与⑷的结果，你有什么发现？ ⑴与⑵分别用 ... ...
