10.2.2 等腰三角形性质与判定的综合应用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第十章 三角形的有关证明 2 等腰三角形 第2课时 等腰三角形性质与判定的综合应用 基础闯关 知识点一：等腰三角形中的特殊线段 1.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,垂足为点 D,AD=4.若点 P 在边AC 上移动,则 BP 的最小值是 . 第1题图 第2题图 2.如图,△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,DE⊥AB 于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF= cm. 知识点二：等腰三角形性质和判定的综合应用 3.如图,在等腰△ABC 中,AB=AC,∠A =40°,P 是△ABC 内一点,且∠1=∠2,则∠BPC 等于( ) A.110° B.120° C.130° D.140° 第3题图 第4题图 4.如图,在△ABC中,AB=AC,点 E 在CA 的延长线上,EP⊥BC 于点 P,交 AB 于点 F.若AF=2,BF=3,则CE 的长度为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.如图,AB∥DE,△ABC 是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD=( ) A.16° B.28° C.44° D.45° 6.如图,AB=AC,FD⊥BC 于点D,DE⊥AB于点 E. 若∠AFD = 145°, 则 ∠EDF = 度. 第6题图 第7题图 7.[转化思想]如图,在△ABC 中,BO,CO分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线,过点O 作OE∥AB,OF∥AC,分别交边 BC 于点E,F.如果BC=10,那么△OEF 的周长等于 . 能力提升 素养提升微专题 【数学思想在等腰三角形中的应用】 思想1：分类讨论思想 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 . 9.在△ABC 中,AB=AC,中线 BD 将这个三角形的周长分为15 和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为 . 思想2：方程思想 10.如图,△ABC 中,∠ABC=63°,点 D,E 分别是△ABC的边BC,AC 上的点,且AB=AD=DE=EC,则∠C 的度数是( ) A.21° B.19° C.18° D.17° 第10题图 第11题图 11.如图,△ABC中,AB=BD,点 D,E 分别是AC,BD 上的点,且∠ABD=∠DCE.若∠BEC=105°,则∠A 的度数为 . 素养提升微专题 【等腰三角形中的结论判断】 12.如图,在△ABC中,AB=AC,BD为AC边上的高,BE平分∠ABD,点F在BD上,连接EF并延长,交BC于点G.若BG=EG,∠A=2∠DEF,有下列结论:①∠DEF=∠CBD;②∠ABE+∠CBD=45°;③EG⊥BC;④BE=BC;⑤BF=CE.其中一定成立的有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 第12题图 第13题图 13.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AC为边作△ACD,满足AD=AC,点 E 为BC上一点，连接AE， 连接DE.下列结论中正确的是 .(填序号)①AC⊥DE;②∠ADE =∠ACB;③若CD∥AB,则AE⊥AD;④DE=CE+2BE. 14.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,过点B 作AD 的垂线,垂足为点 D,DE∥AC,交AB 于点E,CD∥AB. (1)求证:△BDE 是等腰三角形. (2)求证:CD=BE. 15.[推理能力]如图，△ABC 是等腰三角形，CA=CB,∠ACB 是锐角,∠ACB=α.点 M在边AC上,点N 在边BC 上(点M,N不与所在线段端点重合),BN=AM,连接AN,BM,射线AG∥BC,延长 BM 交射线AG于点D,点 E 在 NA 的延长线上,且AE=DE. (1)△BCM 与△ACN 全等吗 请说明理由. (2)请求出∠BDE 的度数.(用含α的代数式表示) 参考答案 1. 2.6 3. A 4. C 5. C 6.55 7.10 8.69°或21° [解析]分两种情况讨论: (1)若∠A＜90°,如图①所示.∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°. ∵∠ABD=48°,∴∠A=90°-48°=42°. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C (2)若∠A＞90°,如图②所示.同①可得 21°. 综上所述，等腰三角形底角的度数为69°或21°. 9.7或11 [解析]如图所示, 当 时,AC=10,∴底边长 当AB时,AC=8,∴底边长=15-DC 综上所述，底边长等于7或11. 10. A [解析]设∠C=x.∵DE=EC,∴∠C=∠EDC=x,∴∠AED=∠C+∠EDC=2x. ∵AD=DE,∴∠AED=∠DAE=2x,∴∠ADB=∠DAE+∠C=3x. ∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABC=3x,∴3x=63°,∴x=21°,故∠C=21°. 11.85° [解析]∵BA=BD,∴∠A=∠BDA. 设∠A=∠BDA=x,∠ABD=∠ECD=y,则解得x=85°, ∴∠A 的度数为85°. 12. B [解析]作AH⊥BC 于点H.①②③⑤一定成立. 13. ②③④ 14.证明:(1) ... ...