10.5.1 角平分线的性质定理与判定定理 同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第十章 三角形的有关证明 5 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理与判定定理 基础闯关 知识点一：角平分线的性质定理 1.如图,在△ABC 中,∠C=90°, BD 平分∠ABC,则点D到AB 的距离等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1 第1题图 第2题图 2.如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC 的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.5 3.如图,射线OC 是∠AOB 的平分线,点D 为射线OC 上一点,DP⊥OA 于点P,PD=6.若点 Q 是射线OB 上一点,OQ=5,则△ODQ 的面积为 . 知识点二：角平分线的判定定理 4.如图,BF,CF 分别是∠DBC 和∠ECB 的平分线，则关于点 F 的说法不正确的是( ) A. F 到△ABC 三边所在直线的距离相等 B. F在∠A 的平分线上 C. F到BD,CE 的距离相等 D. F 到△ABC 三顶点的距离相等 第4题图 第5题图 5.如图,在△ABC中,D 是BC上的一点,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F.若DE=DF,∠BAC=60°,AD=12cm,则DE= . 6.如图,BP,CP 分别是△ABC 的外角平分线,PM⊥AB 交AB 的延长线于点M,PN⊥AC交AC 的延长线于点 N.求证：AP 平分∠MAN. 知识点三：角平分线的尺规作图 7.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点 C 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线CP 交AB 于点 D.若BD=3,AC=10,则△ACD 的面积是 . 8.如图,点 D 在△ABC 的边 AB 上,∠ACD=∠A. (1)作∠BDC 的平分线DE,交 BC 于点 E.(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下,判断直线 DE 与直线AC的位置关系.(不要求证明) 能力提升 素养提升微专题 【三角形的角平分线与分成的三角形面积的关系】 9.如图,∠AOB =150°,OP 平分∠AOB,PD⊥OB 于点D,PC∥OB 交OA 于点C.若PD=3,则△OPC 的面积为( ) A.9 B.18 D.9 第9题图 第10题图 10.[一题多辨]如图，△ABC 的三条角平分线将其分为三个三角形. (1)若△ABC 的三边AB,BC,CA 的长分别是20,30,40,则 S△ABO : S△BCO : S△CAO等于( ) A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 (2)若△OAB,△OAC,△OBC 的面积分别为S ,S ,S ,则( ) 【平行线间的距离与角平分线的关系】 11.[一题多辨](1)如图①,AB∥CD,BP 和CP分别平分∠ABC 和∠DCB,AD 过点 P,且与AB 垂直.若AD=8,则点 P 到 BC 的距离是 . (2)如图②,AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,且OE=3,则AB 与CD 之间的距离为 . (3)如图③,已知AB∥CD,点 P 到AB,BC,CD 的距离相等，则∠P 的度数是 . 12.如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线PQ于点P,PD⊥AB交BA 的延长线于点D,PE⊥AC于点E. (1)求证:BD=CE. (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD 的长. 参考答案 1. C 2. A 3.15 [解析]如图,过点 D 作DE⊥OB 于点E. ∵射线OC是∠AOB的平分线,DP⊥OA,DE⊥OB,∴DE=PD=6, 4. D 5. 6cm 6.证明:作PD⊥BC于点D. ∵BP 是△ABC 的外角平分线,PM⊥AB,PD⊥BC,∴PM= PD. 同理,PN = PD,∴PM=PN. 又∵PM⊥AB,PN⊥AC,∴AP 平分∠MAN. 7. 15 8.解:(1)如图所示,DE 即为所求. (2)DE∥AC. 9. D [解析]作 PE⊥OA 于点E. ∵OP 平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,∴PE=PD=3. ∵∠AOB=150°,OP 平分∠AOB,∴∠AOP=∠BOP=75°. ∵PC∥OB,∴∠CPO=∠BOP=75°,∴∠CPO=∠AOP=75°,∴CP=CO. ∵∠CPO+∠AOP +∠PCO=180°,∴∠PCO =30°,∴PC=2PE=6,∴OC=6, ∴△OPC 的面积为 10.(1)C (2)A 11.(1)4 (2)6 (3)90° 12.(1)证明:如图,连接BP,CP. ∵点 P 在BC 的垂直平分线PQ上,∴BP=CP. ∵AP 是∠DAC 的平分线,DP⊥AD,PE⊥AC,∴DP=EP. 在 Rt△BDP 和 Rt△CEP中，∵,∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),∴BD=CE. (2)解:在Rt△ADP和Rt△AEP中, ∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE. ∵AB=6cm,AC=10cm,∴6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD,解得AD=2cm. ... ...