10.5.2 角平分线的性质与判定的综合应用（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第十章 三角形的有关证明 5 角平分线 第2课时 角平分线的性质与判定的综合应用 基础闯关 知识点一：三角形三条角平分线的性质 1.如图，已知BD 是△ABC 的角平分线,ED 是 BC 的垂直平分线,∠BAC=90°,AD=3,则CD的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 第1题图 第2题图 2.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=50°,CO 平分∠ACB,AO平分∠BAC,连接BO,则∠OBC 的度数是 . 知识点二：角平分线的性质与判定的综合应用 3.如图所示,表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图所示,在△ABC 中,P 为BC 上一点,PR⊥AB,垂足为点 R,PS⊥AC,垂足为点 S,AQ=PQ,PR=PS.有下面三个结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.全对 第4题图 第5题图 5.如图,△ABC 中,∠B=90°,两直角边 AB=7，BC=24，三角形内有一点 P 到各边的距离相等,PE⊥AB,PF⊥BC,PD⊥AC,垂足分别为E,F,D,则 PD 的长为 . 6.已知∠AOB =60°,OC 是∠AOB 的平分线,点D 为OC 上一点，过点D 作直线 DE⊥OA,垂足为点 E,且直线 DE 交OB 于点 F,如图所示.若DE=2,则DF= . 能力提升 素养提升微专题 【角平分线与图形的面积】 7.如图,已知在△ABC 中,CD 是AB 边上的高线,BE 平分∠ABC,交 CD 于点E,BC=5,DE=2,则△BCE 的面积等于( ) A.10 B.7 C.5 D.4 第7题图 第8题图 8.如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD=90°,BD 平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD 的面积是( ) A.24 B.30 C.36 D.42 9.如图所示,已知△ABC 的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC 于点D,且OD=3,则△ABC 的面积是 . 【利用或构造角平分线模型进行计算】 10.如图,∠B=∠C=90°,M 是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB 的度数为 . 11.如图,△ABC中,∠BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 DE 相交于点 D，DF⊥AB 于点F,AB=6,AC=4,则 BF 的长度为 . 【对角互补模型】 12.如图,已知∠AOB=90°,OM 是∠AOB 的平分线，将三角尺的直角顶点 P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB 交于C，D两点.请判断 PC 和 PD 的数量关系，并说明理由. 13.如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,PF⊥BC于点F,PA=PC. 求证:∠PCB+∠BAP=180°. 14.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,AE 是∠BAD 的平分线,点 F 为AE 上一点,连接BF,∠BFE=45°. (1)求证:BF 平分∠ABE. (2)连接 CF 交 AD 于点 G,若S△ABF =S△CBF,求证:∠AFC=90°. (3)在(2)的条件下,当BE=3,AG=4.5时,求线段AB 的长. 参考答案 1. A 2.20° 3. D 4. A 5. 3 6. 4 7. C 8. B [解析]如图,过点 D 作DH⊥AB,交 BA 的延长线于点H. ∵BD 平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四边形ABCD的面积 9. 30 10. 35° 11.1 [解析]如图,连接CD,过点 D 作DM⊥AC交AC的延长线于点 M. ∵AD 是∠BAC 的平分线,DF⊥AB,DM⊥AC,∴ DF = DM,∠M = ∠DFB = 90°. 在Rt△ADM和Rt△ADF中,≌Rt△ADF(HL),∴AM=AF. ∵DE 是BC 的垂直平分线,∴ CD = BD. 在 Rt△CDM 和 Rt△BDF 中,∵,∴Rt△CDM≌Rt△BDF(HL),∴CM=BF,∴AB=AF+BF=AM+BF=AC+CM+BF=AC+2BF. ∵AB=6,AC=4,∴BF=1. 12.解:PC=PD.理由:如图,过点 P 分别作PE⊥OB 于点E,PF⊥OA 于点 F. ∵∠CFP =∠DEP=90°,∠AOB=90°,∴∠FPE=90°. ∵OM 是∠AOB 的平分线,∴PE=PF. ∵∠CPF+∠FPD=90°,∠DPE+∠FPD=90°,∴∠CPF=∠DPE. 在△CFP 和△DEP 中,∵,∴△CFP≌△DEP(ASA),∴PC=PD. 13.证明:如图,过点 P 作 PE⊥BA 于点 E. ∵∠1=∠2,PF⊥BC于点F,∴PE=PF,∠PEA=∠PFB=90°. 在Rt△PEA与Rt△PFC 中,∵,∴Rt△PEA≌Rt△PFC(HL), ∴∠PAE=∠PCF. ∵∠PAE+∠BAP=180°,∴∠PCB+∠BAP=180°. 14.(1)证明:∵ ... ...