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课件网) 第3章 圆锥曲线 3.3.2 抛物线的几何性质 高教社数学拓展模块一（修订版）（上册） 目录ONTENTS C 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？ 1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率 5.渐近线 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 下面以抛物线的标准方程y =2px为例，研究抛物线的几何性质． 1.范围 这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． 在方程中，y =2px 中，由p>0，y ≥0，可知x≥0．这表明，抛物线在y 轴的右侧，如图所示．当x的值增大时，y 的值也随着增大，即|y| 的值增大． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 2.对称性 这说明，抛物线关于x轴对称．一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴． 在方程中，将y换成-y，方程不改变． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 3.顶点 在方程中，令 y=0，得 x=0．因此，抛物线的顶点为原点．一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 4.离心率 抛物线上的点M 到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e．由抛物线的定义知，e=1． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？ 桥梁的主要受力是桥面的荷载重量及自身重量，都是垂直向下的，采用抛物线拱形可以将垂直受力转移到横向的桥墩或岸边的地面，这样可以加宽桥梁下面的通道宽度，减少桥墩数量，因此，桥梁大多设计成抛物线拱形. 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例1.根据条件，求抛物线的标准方程． （1）关于y轴对称，且过点P(4，-2) ； （2）对称轴为坐标轴，且过点P(10，5)． 解： （1） 由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上． 设拋物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将点P的坐标(4，-2)代人方程，得42=-2p×(-2)，解得p=4． 因此，抛物线的标准方程为x2=-8y； 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例1.根据条件，求抛物线的标准方程． （1）关于y轴对称，且过点P(4，-2) ； （2）对称轴为坐标轴，且过点P(10，5)． 解： （2）设所求抛物线的标准方程为：y =2p1x或x2=-2p2y．将点P的坐标(10，5)分别代人上述两个方程，得5 =2p1×10或102=-2p2×5，解得 p1= 或p=10． 故抛物线的标准方程为 y = x或x2=20y． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论． 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例2.用“描点法”画出抛物线 y =4x的图形． 分析：抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形. 当y≥0时,抛物线的方程可以变形为 在[0,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表 以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形.然后利用对称性,画出全部图形. 情境导入 探索新知 典例剖析 巩固练习 归纳总结 布置作业 例3.建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑．2021年年底，我国高速公路里程已位居世界第一．在修建A市到B市的高速公路过程中，需要挖掘一条横截面如图（1）所示的隧道．已知横截面的顶部是抛物线拱，拱高为2m， ... ...
