4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（课件+学案+练习，共3份）北师大版（2019）必修 第二册

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课标要求　1.能利用三角函数的定义,理解正弦函数、余弦函数的基本性质. 2.会运用性质解决相关问题. 【引入】 上节课,借助单位圆定义了任意角的正弦函数和余弦函数,单位圆是研究三角函数性质的有力工具.这节课,我们就利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质. 一、正弦函数、余弦函数的定义域、最值和值域 探究1 设任意角α的终边与单位圆交于点P(u,v),当自变量α变化时,点P的横坐标、纵坐标也在变化.试由正弦函数v=sin α的定义, (1)指出正弦函数v=sin α的定义域; (2)α取何值时,v=sin α取得最大(小)值,值是多少 _____ _____ _____ 【知识梳理】 正弦函数v=sin α 余弦函数u=cos α 定义域 R 值域 　　　 最小值 当α=　　　　　　　　时,vmin=-1 当α=π+2kπ,k∈Z时,umin=　　　 最大值 当α=+2kπ,k∈Z时,vmax=　　　 当α=　　　　,k∈Z时,umax=1 温馨提示　正弦函数、余弦函数均有最大值与最小值,它们都是有界函数. 例1 (链接教材P19例4)求下列函数的最大值和最小值,并写出取得最大值和最小值时自变量α的值. (1)v=cos α,α∈. (2)v=-sin α,α∈. _____ _____ _____ 思维升华　1.对函数v=sin α,v=cos α(其中α∈[m,n]),可通过观察角α终边与单位圆交点坐标的变化得到它们的最值和值域. 2.关于sin α或cos α的复合函数,注意利用换元思想求解. 训练1 (1)若代数式有意义,则锐角θ的取值范围是 (　　) A. C. (2)函数f(α)=-sin2α+sin α+1(α∈R)的最大值为 (　　) A.-1 B. 二、正弦函数、余弦函数的周期性与单调性 探究2 (1)与α终边相同角的正弦值与sin α有什么关系 (2)与α终边相同角的余弦值与cos α有什么关系 _____ _____ _____ 探究3 已知v=sin α,α∈,当α发生变化时,观察α的终边与单位圆的交点P(cos α,sin α)的变化,试写出其单调递增和递减区间. _____ _____ _____ 【知识梳理】 正弦函数v=sin α 余弦函数u=cos α 周期性 周期函数,最小正周期为　　　 单调性 在区间　　　　　　　　上单调递增; 在区间　　　　　　　　上单调递减 在区间　　　　　　　上单调递减; 在区间　　　　　　　上单调递增 温馨提示　若正弦函数在(k∈Z)上为增函数,是指当k取某个整数值时,得到一个对应区间,则只在这个区间上单调递增,而不是在这些区间的并区间内单调递增,更不能说成在第一、四象限为增函数. 例2 (链接教材P19例3)(1)下列关于函数u=4sin α,α∈[-π,π]的单调性的叙述,正确的是 (　　) A.在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减 B.在上单调递增,在上单调递减 C.在[0,π]上单调递增,在[-π,0]上单调递减 D.在上单调递增,在上单调递减 (2)下面结论正确的是 (　　) A.sin 400°>sin 50° B.sin 220°cos 500° D.cos(-40°)