4.3 诱导公式与对称 课标要求 1.理解利用对称推导诱导公式的过程. 2.了解三角函数诱导公式的意义和作用. 3.能利用有关公式解决三角函数的求值、化简或证明问题. 【引入】 对称图形给人以和谐之美,在数学中,也经常利用对称性来研究和解决问题,这节课,我们借助单位圆来研究其终边关于原点、坐标轴对称的正弦函数及余弦函数的关系. 一、给角求值 探究 如图,在平面直角坐标系中,设角α,-α,π+α,π-α的终边与单位圆分别相交于点P,P1,P2,P3,观察并回答以下问题. (1)P与P1有怎样的位置关系 (2)P与P2有怎样的位置关系 (3)P与P3有怎样的位置关系 _____ _____ _____ 【知识梳理】 终边 关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称 图示 诱导 公式 sin(-α)= , cos(-α)= sin(α+π)= , cos(α+π)= , sin(α-π)= , cos(α-π)= sin(π-α)= , cos(π-α)= 备注 公式二 公式三 公式四 作用 将负角化为正角 将0~2π内的角化为0~π内的角 将钝角化为0~内的角 特点 1.公式两边的函数名称一致. 2.将α看作锐角时,原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号,即为等号右边的符号 温馨提示 (1)公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,k∈Z.作用是将角转化到0~2π内. (2)对公式一~四有下列规律. ①公式中的角为任意角. ②记忆口诀“函数名不变,符号看象限”. (3)由公式二可知:正弦函数y=sin α是奇函数,余弦函数y=cos α是偶函数. 例1 (链接教材P21例6)(1)sin 750°= ;cos(-2 040°)= . (2)计算:sin= . _____ _____ _____ 思维升华 给角求值一般可按下面步骤进行: 训练1 求下列各三角函数值: (1)cos 210°;(2)sin; (3)sin;(4)cos(-1 920°). _____ _____ _____ 二、给值求角与给值求值 例2 (1)(链接教材P22练习T4)已知cos α=-,则α= . (2)已知cos,则cos= . _____ _____ _____ 迁移 若本例(2)中的条件不变,如何求cos _____ _____ _____ 思维升华 1.给值求角,借助单位圆和诱导公式求解. 2.给值求同名三角函数值:如已知sin α=a,求sin β,只要存在关系α±β=kπ(k∈Z)就可以运用诱导公式一~四求解. 训练2 (1)已知sin α≤,则角α的集合为 . (2)已知sin(α+π)=-0.3,则sin(2π-α)= . 三、化简与证明 例3 (1)化简:. (2)证明:=(-1)ncos α,n∈Z. _____ _____ _____ 思维升华 1.利用诱导公式进行化简:主要是进行角的转化,最终达到角的统一,能求值的要求出值. 2.利用诱导公式证明等式 从一边开始,使得它等于另一边,一般由繁到简,或者左右归一,即证明左、右两边都等于同一个式子.关键是抓住题设与结论的差异,有针对性地进行变形,以消除其差异,化异为同. 3.当式子中出现nπ+α(n∈Z)的正余弦时,对n分奇数、偶数讨论. 训练3 (1)化简:. (2)已知sin β=,cos(α+β)=-1,证明:sin(α+2β)=-. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.如图所示,角θ的终边与单位圆交于点P,则cos(π-θ)的值为 ( ) A.- C. 2.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是 ( ) A.sin α=sin β B.sin(α-2π)=sin β C.cos α=cos β D.cos(2π-α)=-cos β 3.已知cos,则cos= . 4.(链接教材P27习题B组T2)适合cos α<的角α的集合为 . 4.3 诱导公式与对称 探究 提示 (1)关于x轴对称. (2)关于原点对称. (3)关于y轴对称. 知识梳理 -sin α cos α -sin α -cos α -sin α -cos α sin α -cos α 例1 (1) (2)1 [(1)sin 750° =sin(2×360°+30°)=sin 30°=; cos(-2 040°)=cos 2 040° =cos(5×360°+240°)=cos 240° =cos(180°+60°)=-cos 60°=-. (2 ... ...
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