7.3 正切函数的图象与性质 课标要求 1.会用描点法作出y=tan x,x≠+kπ,k∈Z的图象. 2.掌握正切函数的性质,并能够利用性质解决问题. 【引入】 上节课我们学习了正切函数的定义及其诱导公式,在此基础上,这节课学习正切函数的图象与性质. 一、正切函数的图象及应用 探究1 类比画正弦函数图象的方法,画出函数y=tan x的图象. _____ _____ _____ 【知识梳理】 (1)正切函数y=tan x的图象称作 . (2)正切曲线是由被相互平行的直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线叫作正切曲线各支的 . 温馨提示 (1)图象在x轴上方的部分下凹;在x轴下方的部分上凸. (2)图象被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z隔开,图象无限接近这些直线,但永不相交. 例1 对于函数y=tan, (1)作出它的简图; (2)如何由y=tan x图象变换出它的图象. _____ _____ _____ 思维升华 1.作正切函数的简图一般用“三点两线法” “三点”是指,(0,0),; “两线”是指直线x=-. 在三点两线确定的情况下,类似于五点(画图)法作图,可大致画出正切函数在上的简图,然后向左、向右平移即得正切曲线. 2.y=Atan(ωx+φ)的简图可用换元法结合“三点两线法”作出. 3.y=Atan(ωx+φ)图象也可由y=tan x变换得出. 训练1 (1)tan x≥-1的解集为 . (2)(多选)与函数y=tan的图象不相交的直线的方程是 ( ) A.x= C.x= 二、正切函数的性质及应用 探究2 上节课中由诱导公式,我们已经知道y=tan x是周期为π的奇函数,观察正切曲线, (1)正切函数是否存在单调递减区间 (2)正切函数是否存在对称轴 (3)正切函数是否存在对称中心,若存在,对称中心一定在正切曲线上吗 _____ _____ _____ 【知识梳理】 正切函数的性质 图象 性 质 定义域 值域 R 奇偶性 奇函数 周期性 周期为kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为π 单调性 在每个区间,k∈Z上单调递增 对称性 该图象的对称中心为,k∈Z 温馨提示 (1)正切函数无递减区间,在每一个单调区间上都是递增的,并且每个单调区间均为开区间; (2)正切函数无最大值和最小值,且y=Atan(ωx+φ)的周期T=. 例2 不求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小. (1)tan; (2)tan. _____ _____ _____ 思维升华 比较几个角的正切值大小的一般步骤 (1)利用诱导公式将任意角的正切值转化为内的角的正切值; (2)确定内各角的大小顺序; (3)利用y=tan x在上单调递增比较函数值的大小. 训练2 (1)下列各值中,比tan大的是 ( ) A.tan C.tan 35° D.tan(-142°) (2)已知偶函数f(x)在 x1,x2∈(0,+∞)时,满足<0,若a=tan 2,b=tan 3,c=tan 5,则下列不等关系正确的是 ( ) A.f(c)>f(b)>f(a) B.f(c)>f(a)>f(b) C.f(b)>f(a)>f(c) D.f(b)>f(c)>f(a) 三、函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω≠0)的性质 例3 求下列函数的最小正周期和单调区间. (1)y=-tan; (2)y=. _____ _____ _____ 思维升华 1.求y=Atan(ωx+φ)的周期可用定义法,公式法T=.求单调性、对称性时把ωx+φ视为一个整体来研究. 2.含绝对值的与正切函数有关的函数的性质常用图象法. 3.当且仅当φ=(k∈Z)时,y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)才为奇函数,否则不具有奇偶性. 训练3 (1)(多选)若函数f(x)=tan 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,那么下列说法正确的有 ( ) A.函数g(x)的定义域为 B.函数g(x)在上单调递增 C.函数g(x)图象的对称中心为,k∈Z D.函数g(x)≤1的一个充分条件是 (2)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图所示,则f= . 【课堂达标】 1.函数y=tan在一个周期内的图象是 ( ) 2.已知函数y=-2tan,则 ( ) A.单调递增区间为(6k-5,6k+1),k∈Z B.单调递增区间为(6k-5,6k+5),k∈Z C.单调递减区间为(6k-5,6k+1),k∈Z D.单调递减区间为(6k-5,6k+5),k∈Z 3.已知函数y=3tan(2x+φ)为奇函数,则φ的最小 ... ...
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