2.2 向量的减法 课标要求 1.了解向量减法的概念. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练进行向量的加、减运算. 【引入】 我们知道,在实数的运算中,减法是加法的逆运算,减去一个数等于加上这个数的相反数.能否类似地定义向量的减法呢 一、向量的减法 探究1 在实数的运算中,两数相减可以认为是一个实数加上另一个实数的相反数,即有a-b=a+(-b)成立,类比实数的减法,在向量的运算中,两向量a,b相减,会有什么结论成立呢 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.定义:向量a减向量b等于向量a加上向量b的 向量,即a-b=a+(-b). 2.作图:给定向量a与b,作有向线段=a,=b,故-b=,则a-b=a+(-b)=. 3.几何意义:如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是a-b. 温馨提示 (1)共起点,连终点,箭头指向被减数. (2)两个向量的差仍是一个向量. 例1 (链接教材P88例4)(1)如图,已知不共线的两个非零向量a,b,求作向量a-b,b-a,-a-b. (2)如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c. _____ _____ _____ 思维升华 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的几何意义,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量. 训练1 (1)已知图甲、乙中的两向量a∥b,作出a-b. (2)如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,. _____ _____ _____ 二、向量减法的运算 例2 (链接教材P90习题2-2A组T6)化简下列式子: (1); (2)()-(). _____ _____ _____ 思维升华 向量减法运算,常利用减去一个向量等于加上这个向量的相反向量来进行,主要有两种方式: (1)化为有公共起点的两向量的差; (2)化为首尾相接的两向量的和. 训练2 化简:(1); (2)()-(). _____ _____ _____ 三、差向量的模 探究2 类比向量加法的三角不等式:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,对于向量减法,我们能得出什么结论呢 _____ _____ _____ 探究3 若a,b是不共线向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么 如果a⊥b,则|a+b|与|a-b|有什么关系 _____ _____ _____ 【知识梳理】 1.向量减法的三角不等式:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,其中若a,b同向,左边等号成立;若a,b反向,右边等号成立;若a,b不共线,左、右边等号均不成立;若a,b有一个为零向量,左、右边等号均成立. 2.a⊥b |a+b|=|a-b|. 例3 (1)已知||=10,||=7,则||的取值范围为 . (2)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|的值为 . _____ _____ _____ 思维升华 (1)求向量的模的最值或范围注意运用向量三角不等式. (2)求向量的模或判定四边形形状注意运用a⊥b |a+b|=|a-b|. 训练3 设平面内四边形ABCD及任一点O,=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|.试判断四边形ABCD的形状. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.在△ABC中,若=a,=b,则等于 ( ) A.a B.a+b C.b-a D.a-b 2.已知在四边形ABCD中,,则四边形ABCD一定是 ( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.化简:()+()= . 4.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|= ,|a-b|= . 2.2 向量的减法 探究1 提示 a-b=a+(-b),-b是b的相反向量. 知识梳理 1.相反 例1 解 (1)①作=a,=b,则=a-b(如图①). ②作=a,=b,则=b-a(如图②). ③对于-a-b,有下列两种方法: 法一 作=-a,=b, 则=-a-b(如图③). 法二 作=a,=b, 再以OA,OB为邻边作 OACB, 则=-a-b(如图④). (2)如图,在平面内任取一点O,作向量=a,=b, 则向量=a-b,再作向量=c, 则向量=a-b-c. 训练1 解 (1)记=a,=b. 对甲,平移向量b, 使与向量a有公共起点O(如图①), 则=a-b; 对乙,平移向量b, 使向量b与向量a有公共起点O(如图②), 则=a-b. (2)∵四 ... ...
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