3.2 向量的数乘与向量共线的关系 课标要求 1.掌握共线向量基本定理. 2.熟练运用共线定理处理有关的共线向量问题. 3.理解直线的向量表示. 【引入】 上节课我们学习了向量的数乘,已经知道:对任一向量b,λb(λ为任一实数)与b是共线向量;那么,若向量a与向量b共线,则a与λb有什么关系呢 这节课我们来学习向量的数乘与共线向量的关系. 一、共线(平行)向量基本定理 探究1 若b=0,a与b共线,a与λb是否共线 若共线是否存在唯一实数λ,使a=λb. _____ _____ _____ 探究2 设b≠0 (1)若a=λb(λ是一个实数),a与b是否共线 (2)若a与b共线,是否存在唯一一个实数,使得a=λb _____ _____ _____ 【知识梳理】 共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ,使 . 温馨提示 (1)定理中的b≠0不能忽略. (2)这个定理可以用一般形式给出:若存在不全为0的一对实数t,s,使ta+sb=0,则a与b共线;若两个非零向量a与b不共线且ta+sb=0,则必有t=s=0. 例1 如图所示,在平行四边形ABCD中,M为BC的中点,. (1)设=a,=b,用a,b表示; (2)求实数λ的值,使得共线. _____ _____ _____ 思维升华 (1)要判定两非零向量a,b共线,只需找到一个非零实数λ,使得a=λb; (2)要判定两非零向量a,b不共线,可以用反证法,即假设a=λb转化为φ(λ)e1+μ(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则此方程组无解即得. (3)已知向量共线求参数值,常根据共线(平行)向量基本定理转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,则必有两向量的系数对应相等,利用待定系数法建立方程(组),从而解方程(组)求得参数的值. 训练1 (1)(链接教材P98习题2-3A组T4)(多选)已知e1,e2是不共线的非零向量,则下列各式中a与b共线的是 ( ) A.a=-2e1,b=6e1 B.a=e1-e2,b=-2e1+2e2 C.a=2e1-e2,b=e1-e2 D.a=e1+e2,b=3e1-3e2 (2)设向量a,b不平行,若向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . 二、直线的向量表示 探究3 如图,已知A,B是直线l上的两个定点. (1)对直线l上任一点P,是否存在唯一确定的实数t,使 (2)若点P满足,则点P是否一定在直线l上 (3)直线l上的点P与满足中实数t是否具有一一对应的关系 _____ _____ _____ 【知识梳理】 直线的向量表示 通常可以用表示过点A,B的直线l,其中称为直线l的 . 温馨提示 (1)在直线l上任取不同两点A,B,均为直线l的方向向量,显然,直线的方向向量不是零向量. (2)由直线l上一点和它的方向向量,直线l被唯一确定. (3)当t=时,点P为AB的中点. 例2 如图所示,在△ABC中,点D,F分别是BC,AC的中点,,=a,=b. (1)用a,b表示向量,,,,; (2)证明:B,E,F三点共线. _____ _____ _____ 思维升华 (1)利用直线的向量表示即不但可以判定和证明P,A,B三点共线,还可根据t的取值判定点P与A,B的位置关系. (2)利用共线向量证明三点共线,不能忽略这两个共线向量必须有公共点. 训练2 (1)已知=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),则 ( ) A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线 (2)已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且,则 ( ) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 三、三点共线的充要条件 探究4 如图,已知A,B是直线l上的两个定点,点O是直线l外的一个定点, (1)若点P是直线l上的任意一点,是否存在唯一的实数t,满足 (2)若存在唯一的实数t,满足,A,B,P三点是否共线 _____ _____ _____ 探究5 已知向量,不共线,设,其中s,t均为常数,s+t=1是A,B,P三点共线的充要条件吗 _____ _____ _____ 【知识梳理】 三点共线的充要条件 设向量,不共线,则A,B,P三点共线的充要条件是 (1); (2)且s+t=1. 温馨提示 (1)当t=时,有()这是线段AB中点的向量表达式. (2)当t<0时,点P在线段BA的延长线上. 当0≤t≤1时,点P在线段 ... ...
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