第二课时 平面与平面垂直的判定 课标要求 1.掌握平面与平面垂直的判定定理. 2.能运用判定定理解决一些简单问题. 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系. 【引入】 如图,检查某工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,你知道这是为什么吗 一、面面垂直的判定定理 探究1 当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系 _____ _____ _____ 探究2 若要判断两平面是否垂直,根据上述问题能否得出一个方法 _____ _____ _____ 【知识梳理】 文字语言 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 若l α,l⊥β,则α⊥β 温馨提示 过l的所有平面都与平面β垂直. 例1 (1)已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是 ( ) A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b β C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β (2)α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 _____ _____ _____ 思维升华 (1)要证明平面与平面垂直,可转化为寻找平面的垂线,即证线面垂直. (2)两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据,还是找出与一个平面垂直的平面的依据. 训练1 (1)(多选)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的是 ( ) A.如果m⊥n,m⊥α,n⊥β,那么α⊥β B.如果m α,α∥β,那么m∥β C.如果α∩β=l,m∥α,m∥β,那么m∥l D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β (2)(多选)下列能确定两个平面垂直的是 ( ) A.两个平面相交,所成二面角是直二面角 B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 C.一个平面经过另一个平面的一条垂线 D.平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的 二、面面垂直判定定理的应用 例2 如图,四面体A-BCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. 证明:平面BED⊥平面ACD. _____ _____ _____ 思维升华 证明平面与平面垂直的方法 (1)利用定义:证明二面角的平面角为直角. (2)利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 训练2 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点. (1)证明:PA∥平面BDE; (2)证明:平面BDE⊥平面PBC. _____ _____ _____ 三、垂直关系的综合应用 例3 如图,已知△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且CE∥BD,BD=2CE.求证:平面AED⊥平面ABD. _____ _____ _____ 思维升华 (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此,判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键. (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时,要充分利用几何图形自身的特点,如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等. 训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点. 求证:(1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD. _____ _____ _____ 【课堂达标】 1.直线l⊥平面α,l 平面β,则α,β的位置关系是 ( ) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直 D.相交不垂直 2.已知直线m,n与平面α,β,给出下列三个结论:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则m⊥n;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.下列四个命题中,正确的序号有 . ①α∥β,β⊥γ,则α⊥γ; ②α∥β,β ... ...
