培优课 前后对照,破解折叠问题 课标要求 1.掌握折叠问题中有关点、线、面的证明方法. 2.会利用立体几何知识求解折叠问题中的空间角和距离. 【引入】 图形折叠问题是立体几何中一类典型问题,在折叠过程中,图形经历了由平面到空间的升维过程.在解决立体几何折叠问题时,要能关注到“折叠前后还在同一个平面上的点、线关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化”.这些变与不变的关系,构建了平面图形与空间图形之间的桥梁,从而降维解决折叠以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值. 一、折叠前后点、线、面的位置关系 例1 如图等腰梯形ABCD中,AD=DC=BC=2,AB=4,E为AB的中点,将△ADE沿DE折起,得到四棱锥P-DEBC,F为PC的中点,M为EB的中点. (1)证明:FM∥平面PDE; (2)证明:DE⊥PC. _____ _____ _____ 思维升华 1.位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变;位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系,可能会发生变化. 2.对于不变的关系在平面图形中处理即可,对于变化的关系,则要在立体图形中解决. 训练1 (1)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△BAD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则下列命题中正确的是 ( ) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABD (2)一个几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,下面结论中一定正确的是 ( ) A.直线AE与直线DF平行 B.直线AE与直线DF异面 C.直线BF和平面PAD相交 D.直线DF⊥平面PBC 二、求空间角问题 例2 如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,E为BC的中点,把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起,使点B与点C重合于点P. (1)求证:平面PDE⊥平面PAD; (2)求二面角P-AD-E的大小. _____ _____ _____ 思维升华 空间角的计算方法与技巧 (1)两条异面直线的夹角 ①平移法;②补形法. (2)直线和平面的夹角 作出直线和平面的夹角,关键是作垂线,找射影并转化到同一三角形中计算. (3)确定二面角的平面角的方法 ①定义法;②垂面法;③线面垂直法. 训练2 如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到图②中的四棱锥A'-BCDE,其中A'O=. (1)证明:A'O⊥平面BCDE; (2)求二面角A'-CD-B的平面角的余弦值; (3)求直线CB与平面A'BE夹角的正弦值. _____ _____ _____ 三、求距离问题 例3 如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,E,F分别是CD边上的三等分点,将△ADF和△BCE分别沿AF,BE折起到△AD'F,△BC'E的位置,且使平面AD'F⊥底面ABCD,平面BC'E⊥底面ABCD,连接D'C'. (1)求证:D'C'∥平面ABEF; (2)求点A到平面EFD'C'的距离. _____ _____ _____ 思维升华 空间中点到平面距离的求法 (1)定义法:过点向平面作垂线,点到垂足的距离即为所求. (2)等体积法:在已知平面上取一个三角形作为三棱锥的底面,以此三角形作为底面的三棱锥的高即为所求,求出这个三角形的面积S,再变换三棱锥的顶点与底面求出三棱锥的体积V,即可求出点到平面的距离为. (3)转移法:将一点到平面的距离转化为求另一个点到该平面的距离,这两点确定的直线平行于平面. 训练3 如图,在平行四边形ABCM中,D为CM的中点,以AD为折痕将△ADM折起,使点M到达点P的位置,且平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,AB=2BC. (1)求证:CE∥平面PAD; (2)若AD=2,AB=4,求三棱锥A-PCD的高. _____ _____ _____ 四、探索性问题 例4 如图①,☉O的直径AB=4,C,D为☉O上两点,且∠CAB=45°,F为的中点.将☉O沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图②). (1)求证:OF∥平面ACD; (2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE⊥平面ACD 若存在,试指出点E的位置;若不存在,请说明理由. _____ _____ _____ 思维升华 解 ... ...
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