3.2 基本不等式 第一课时 基本不等式 课标要求 1.掌握基本不等式及其推导过程. 2.能初步利用基本不等式进行证明和求最值. 【引入】 甲、乙两位同学去体育馆参加某活动,两人采用不同的方式同时从教室出发前往体育馆,先到达体育馆者为胜.甲同学一半路程走,一半路程跑,乙同学一半时间走,一半时间跑,如果两人走的速度、跑的速度均相同,你认为最终获胜的将是谁呢 让我们通过本节课的学习来解决这个问题吧! 一、基本不等式的理解 探究1 如图(1)是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,将其抽象成如图(2)的形式.设直角三角形的两条直角边的长为a,b(a≠b),那么正方形的边长为. 根据抽象的图形,你能从中得到一个什么样的不等关系 探究2 如果a≥0,b≥0,我们用,分别代入上述不等式,能得到什么样的结论呢 【知识梳理】 基本不等式 如果a≥0,b≥0,那么 ,当且仅当 时,等号成立. 这个不等式称为基本不等式,其中,称为a,b的算术平均值,称为a,b的 平均值.因此,基本不等式又称为均值不等式,也可表述为两个非负实数的算术平均值 它们的几何平均值. 温馨提示 (1)基本不等式成立的条件是a≥0,b≥0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立. (3)基本不等式常见的变形:a+b≥2,ab≤. (4)a2+b2≥2ab,a,b∈R也成立. 例1 若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 思维升华 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a≥0,b≥0. 训练1 (1)设0
1时,x+≥2 B.当x<0时,x+≤-2 C.当02时,+≥2 二、用基本不等式证明不等式 例2 (链接教材P27例4)已知x>y>0,z>0,求证:(x+y)(x+z)(y+z)>8xyz. 思维升华 利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的形式,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的条件;若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换,另外,解题中要时刻注意等号能否取到. 训练2 已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,证明:++≥9. 三、用基本不等式求最值 例3 (1)当x>0时,求+4x的最小值; (2)当0