4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课标要求 1.了解指数增长、幂增长、对数增长的意义. 2.能结合具体实际问题,建立恰当的函数模型. 【引入】 同学们,等你们学业有成后,要面对一个现实的问题,那就是如何使你的收入最大化. 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元; 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案 为了解决这个问题,让我们一起开始今天的学习吧! 一、函数模型的增长差异 【知识梳理】 1.指数函数、对数函数、幂函数图象的特征 函数性质 y=ax(a>1) y=logbx(b>1) y=xc(c>0) 在(0,+∞)上的增减性 增长速度 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与 ———平行” 随x增大逐渐表现为与 ———平行” 在(0,+∞)上,随x的增大,图象平稳上升 2.y=ax(a>1),y=logbx(b>1),y=xc(c>0)不同增长情况比较 随着自变量x的增大,y=ax的函数值增长远远大于y=xc的函数值增长;而y=xc的函数值增长又远远大于y=logbx的函数值增长,即尽管它们在(0,+∞)上都是增函数,但增长速度不在一个档次上,在(0,+∞)上总存在一个x0,当x>x0时, . 3.三种函数的增长趋势 当a>1时,指数函数y=ax是增函数,并且当a 时,其函数值的增长就越快. 当a>1时,对数函数y=logax是增函数,并且当a 时,其函数值的增长就越快. 当x>0,c>0时,幂函数y=xc是增函数,并且当x>1时,c ,其函数值的增长就越快. 当底数a>1时,由于指数函数值增长非常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”. 温馨提示 (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长很大时,常常选用对数函数模型. (3)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上. 例1 (1)当x越来越大时,下列函数中增长速度最快的应该是( ) A.y=10 000x B.y=log2x C.y=x1 000 D.y= (2)已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化的数据如下表: x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 1 4 16 36 64 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是( ) A.y1=x2,y2=2x,y3=log2x B.y1=2x,y2=x2,y3=log2x C.y1=log2x,y2=x2,y3=2x D.y1=2x,y2=log2x,y3=x2 思维升华 常见的函数模型及增长特点 (1)指数函数模型:y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的越来越快. (2)对数函数模型:y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的越来越慢,即增长速度平缓. (3)幂函数模型:y=xc(c>0)的增长速度介于指数增长与对数增长之间. 训练1 (1)如图反映的是下列哪类函数的增长趋势( ) A.一次函数 B.幂函数 C.对数函数 D.指数函数 (2)四个物体同时从某一点出发向前运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)=x2,f2(x)=2x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果它们一直运动下去,最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.f1(x)=x2 B.f2(x)=2x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x 二、指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较 例2 已知函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数. (1)求y=f(x)的解析式; (2)若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式: ①log2x<2x
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