5.3.2函数的最大（小）值 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 5.3.2.2函数的最大（小）值 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 一、单选题 1．函数在上的值域为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，，在区间上有最大值，则实数t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（ ） A．4 B． C． D． 4．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（ ） A． B． C． D． 5．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的（ ） A．最小值为0，最大值为 B．最小值为0，最大值为 C．最小值为，最大值为 D．最小值为0，最大值为2 7．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为（ ） A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 二、填空题 10．函数的最小值是 ． 11．已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是 . 12．若函数有零点，则实数的取值范围是 . 13．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元.为使全程运输成本最小，汽车应以 km/h的速度行驶. 14．函数，的最小值为 ． 15．设，若函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数的取值范围是 ． 16．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 . 三、解答题 17．已知函数． (1)求的解析式； (2)讨论在上的零点个数． 18．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：． 19．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，证明 20．已知函数 (1)当时，求过点的切线方程； (2)求函数在区间的最小值． 21．已知函数在上的最小值为，求a的值. 22．已知函数. (1)讨论的最值； (2)设，若恰有个零点，求实数的取值范围. 23．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 24．已知 (1)求的极值点； (2)求证：. 25．已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额-成本）． (1)将利润（元）表示为产量的函数； (2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？ 26．已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 参考答案 1．A 求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域. 由题意得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，故， 因为，所以． 故所求的值域为． 故选：A 2．B 利用导数求出函数单调性，据此知函数有极大值，根据函数在开区间上有最大值可知，区间含极大值点 ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上递增函数，在上递减函数， 故时函数有极大值，且， 所以当函数在上有最大值，则且， 即，解得. 故选：B. 3．D 根据题意，函数有且仅有一个正零点，转化为方程有且仅有一个正根，令，利用导数研究函数单调性、极值，数形结合判断得解. 函数有且仅有一个正零点，即方程有且仅有一个正根， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 即函数在和上单调递增，在上单调递减，且， 时，，时，，时，，可作出图象如下， 方程有且仅有一个正根，所以. 故选：D. 4．A 由该六棱锥为正六棱锥时，其体积最大结合体积公式得出，利用导数得出体积最大值，进而得出侧棱长. 由题意知，六棱锥的底面六边形的顶点在同一个截面圆上． 易知当六边形为正六边形时，其面积 ... ...