4.2.2 等差数列的前n项和公式 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台 4.2.2 等差数列的前n项和公式 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第二册 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，且满足，则（ ） A．5 B．10 C．7 D．14 2．设是等差数列的前项和，若，则（ ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知数列的前项和，若，则（ ） A．578 B．579 C．580 D．581 5．已知正项数列满足，且为等差数列，设，若数列的前项和为10，则（ ） A．30 B．31 C．40 D．41 6．已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ） A．20 B．24 C．36 D．40 7．在数列中，，则等于（ ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 8．若数列的通项公式为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设为等差数列的前项和，若，，则 . 10．设是等差数列的前项和，，，则 . 11．已知等差数列的前项和为，若，则当最小时，的值为 . 12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时， ． 13．已知数列满足，则数列的前项和的最大值是 ． 14．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数的差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，后人一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的通项公式为 15．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为 ． 16．在数列中，，则 . 三、解答题 17．已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）求正整数，使得. 18．已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 19．已知各项都为正数的数列 的前 项和为 , 且满足 . (1)求数列的通项公式; (2)若，求数列的前项和. 20．已知等差数列的首项，公差为为的前项和，为等差数列． (1)求与的关系； (2)若为数列的前项和，求使得成立的的最大值． 21．在等差数列中，已知：，. (1)求数列的公差及通项公式； (2)求数列的前项和的最小值，并指出此时正整数的值. 参考答案 1．D 根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的通项公式即得. 设等差数列的公差为， 由，可得， 即， 因此. 故选：D. 2．B 根据等差数列片段和性质及已知，设，求得，即可得结果. 由等差数列片段和性质知：是等差数列. 由，可设，则，于是依次为， 所以，所以. 故选：B 3．B 根据等差数列的性质即可求解,,进而根据数列的单调性求解. ，即. 因此数列单调递增， 故当取得最小值时，的值为8. 故选：B. 4．B 由的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出. 当时， 当时，，经检验时，不成立. 故得到. 令，则，解得，且， 当时， ， 当时， ， 故：，. 故选：B. 5．C 根据条件求出，然后利用裂项相消法求和即得 因为，结合等差数列定义可得，所以， 所以 ， 所以数列的前n项和为，故． 故选：C 6．C 根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解. 等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项 ... ...