章末复习提升 一、圆锥曲线定义的应用 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决. 例1 已知B，C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 训练1 (1)双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为 ( ) A.(1，3) B.(1，3] C.(3，+∞) D.[3，+∞) (2)抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若2|BF|=|AF|+|CF|，则 ( ) A.2x2=x1+x3 B.2y2=y1+y3 C.2x3=x1+x2 D.2y3=y1+y2 二、圆锥曲线的几何性质的应用 求离心率的三种方法 (1)定义法:直接利用公式e=. (2)方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式. (3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 例2 (1)设椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·=0，求椭圆的离心率e的取值范围. (2)如果双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，求此双曲线的离心率. 训练2 (1)(多选)已知双曲线C:-=1的左、右顶点分别为A，B，点P是C上的任意一点，则 ( ) A.双曲线C的离心率为 B.焦点到渐近线的距离为3 C.点P到两条渐近线的距离之积为 D.当P与A、B不重合时，直线PA，PB的斜率之积为3 (2)(多选)已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点.若线段MN的长是16，MN中点到y轴的距离是6，O为坐标原点，则 ( ) A.抛物线C的方程是y2=-8x B.抛物线C的准线为x=3 C.直线l的斜率为1 D.△MON的面积为8 三、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系主要围绕直线与圆锥曲线相离、相切、相交展开，并衍生出弦长，中点弦等相关问题，直线与圆锥曲线在解析几何、代数、三角和平面向量中均有论述，是高考数学的主干知识和重点考查内容. 例3 在平面直角坐标系xOy中， ①已知点Q(，0)，直线l:x=2，动点P满足到点Q的距离与到直线l的距离之比为.②已知点H(-，0)，G是圆E:x2+y2-2x-21=0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P.③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|=3，动点P满足=+. (1)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程; (2)点M(-1，0)，若直线l:x-y-1=0交C于A，B两点，求△MAB的面积. 训练3 已知抛物线E:y2=2px(p>0)，过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足y1y2=-4. (1)求抛物线E的方程; (2)已知点C的坐标为(-2，0)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求+的最小值. 四、圆锥曲线的综合问题 (1)圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值(范围)、探究性问题等. (2)定值问题常从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (3)探究性问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件存在，再验证结论是否成立，成立则条件存在，否则条件不存在;若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 例4 已知椭圆+=1(a>b>0)过点(0，1)，其长轴长与短轴长的平方和是焦距的平方的2倍.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足=λ1=λ2. (1)求椭圆的标准方程; (2)若λ1+λ2=-3，试证明:直线l过定点，并求此定点. 训练4 如图所示，椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2 ... ...
